전자기학 [17] 정자기장 - 자화, 등가 전류밀도

자화

 

누구나 자석에 쇠구슬을 붙이며 놀아 본 경험이 있을 것이다. 자석과 자석이 붙는 현상은 너무나 당연하게 받아들일 수 있다. 자성을 가진, 즉 순(net) 자기 모멘트를 가진 물질끼리 자기력에 의해 인력이나 척력이 작용하는 현상이므로 직관적이고 합리적이다.

 

그런데, 순 자기 모멘트를 가진 자석과 순 자기 모멘트를 가지지 않은 쇠구슬이 붙는다는 사실을 다들 알고 있을 것이다. 자석과 자석은 서로 자기력이 작용하고, 쇠구슬과 쇠구슬은 서로 자기력이 작용하지 않는데, 자석과 쇠구슬 사이에는 자기력이 작용한다는 사실이 굉장히 놀랍다! 우리는 이번 글에서 이러한 자기력의 원인과, 크기와 방향에 관하여 엄밀히 따져볼 것이다.

 

기본적인 원자 모델에 따르면, 원자는 양전하를 띄고 있는 원자핵과 음전하를 띄고 있는 전자로 이루어져 있다. 전자가 원자핵 주변을 돌고, 전자가 이동한다는 것은 곧 전류가 흐른다는 것을 의미한다. 따라서 원자핵 주변으로 전자가 회전하는 반대방향으로 전류가 흐른다는 것을 알 수 있다. 저번 글에서 전류가 흐르는 루프를 자기 쌍극자(magnetic dipole)라고 정의했다. 따라서 물질의 각 원자도 자기 쌍극자이며, 자기 쌍극자 모멘트(magnetic dipole moment)를 가진다!

 

대부분의 물질의 경우 물질을 구성하는 원자들의 자기 쌍극자 모멘트는 무작위한 방향으로 향하기 때문에, 자기 쌍극자 모멘트의 총합인 순 자기 모멘트는 0이다. 원자의 자기 모멘트를 $\mathbf{m}_k$라고 하고, 단위 체적 당 원자가 $n$개 있다고 가정하면 단위 체적 당 자기 모멘트는 다음과 같이 나타낼 수 있다. 이를 자화벡터(magnetization vector)$\mathbf{M}$이라고 한다.

$$M=\sum_{k=1}^n {\mathbf{m}_k} \quad (A/m)$$

 

이 자화 벡터는 벡터 자기장 포텐셜 $\mathbf{A}$를 발생시키는데, 그 값은 다음과 같다.

$$d\mathbf{A}={\mu_0 \mathbf{M}\times \mathbf{a}_R \over 4\pi R^2}dv\\={\mu_0 \over 4\pi}\mathbf{M}\times \nabla ({1\over R})dv$$

 

따라서 총 벡터 자기장 포텐셜은 다음과 같다.

$$\mathbf{A}=\int_V d\mathbf{A}={\mu_0 \over 4\pi}\int_V \mathbf{M}\times \nabla ({1\over R})dv$$

 

위 식에서 피적분항은 벡터 항등식에 의해 아래처럼 고쳐 쓸 수 있다.

$$\mathbf{M}\times \nabla ({1\over R}) = {1\over R} \nabla \times \mathbf{M}-\nabla \times ({\mathbf{M} \over R})$$

 

따라서 결론적으로 벡터 자기장 포텐셜은 다음과 같이 적을 수 있다.

$$\mathbf{A}={\mu_0 \over 4\pi}\int_V {\nabla \times \mathbf{M} \over R} dv - {\mu_0 \over 4\pi}\int_V \nabla \times {\mathbf{M} \over R} dv\\ \mathbf{A}={\mu_0 \over 4\pi}\int_V {\nabla \times \mathbf{M} \over R} dv + {\mu_0 \over 4\pi}\int_V {\mathbf{M} \times \mathbf{a}_n \over R} dv$$

 

위 식에서 알 수 있듯이 자화 벡터의 효과는 첫 번째 항인 체적에 관한 항과 두 번째 항인 표면적에 관한 항으로 나뉘어진다. 따라서 자화 벡터의 효과는 체적 전류 밀도$\mathbf{J}_m$과 표면 전류 밀도$\mathbf{J}_{ms}$으로 나뉘어진다. 그 값은 아래와 같다.

$$\mathbf{J}_m=\nabla \times \mathbf{M}\quad (A/m^2)\\\mathbf{J}_{ms}=\mathbf{M} \times \mathbf{a}_n \quad (A/m)$$

이 두 가지 전류 밀도를 자화 전류 밀도(magnetization current density)라고 한다.