전자기학[15] 정자기장 - 벡터 자기장 포텐셜

이번 내용은 조금 생소할 수 있다! 고등학교 물리에는 나오지 않아 필자가 처음 배울 때 당황했던 기억이 난다... 하지만 딱히 특별할 것 없는 내용이라 겁먹을 필요는 전혀 없고 천천히 받아들이면 된다!

 

앞서 자기장의 기본 가정에 대해 설명할 때 $\nabla \cdot B=0$이라는 식이 있었다. 이는 자속밀도 $B$의 발산값이 0이므로 솔레노이드 성질(solenoidal)을 가졌다는 것을 의미한다. 따라서 다음과 같이 어떤 벡터 $A$를 우리 마음대로 정해 볼 것이다. 이 때 알 수 있는 것은 $B$가 솔레노이드 성질을 가졌으므로 다음 식이 성립하게 하는 어떤 $A$를 구할 수 있다는 것이다.

$$B=\nabla \times A \quad (T)$$

이렇게 정의된 벡터장 $A$를 벡터 자기장 포텐셜(vector magnetic potential), 또는 벡터 자기장 준위라고 하며 단위는 $Wb/m$이다. 하지만 이 식만으로는 유일한 $A$를 특정할 수 없으므로 $A$에 대한 다른 특성을 정의할 필요가 있을 것이다.

 

먼저 자속밀도의 회전에 관한 식, $\nabla  \times B=\mu_0 J$에서 자속밀도를 벡터 자기장 포텐셜로 표현하면 다음과 같다.

$$\nabla \times \nabla \times A =\mu_0 J$$

 

벡터의 특성 중 다음과 같은 특성이 있다. 임의의 벡터 $K$에 대해 다음이 성립한다.

$$\nabla \times \nabla \times K = \nabla(\nabla \times K) - \nabla^2 K$$

 

$A$를 위 식에 대입해서 단순화하기 적합하도록 다음과 같은 조건을 걸어주자.

$$\nabla \cdot A=0$$

 

그렇다면 A를 대입한 식은 다음과 같이 정리된다.

$$\nabla \times \nabla \times A = \nabla(\nabla \times A) - \nabla^2 A\\\mu_0 J=\nabla(0)-\nabla^2 A \\\nabla^2 A =-\mu_0 J$$

 

위 식은 포아송 방정식(Poisson equation)의 형태이며, 공학수학 수준에서 풀이가 가능하....겠지...? (수학 공부를 열심히 할 걸 그랬다....)

 

어쨌거나 위 식을 풀면 하나의 특수해를 얻을 수 있는데, 그 해는 다음과 같이 나타낼 수 있다!

$$A={\mu_0 \over 4\pi}\int_V {J\over R}dv \quad (Wb/m)$$

 

위 식은 전류밀도 $J$로부터 벡터 자기장 포텐셜 $A$를 구할 수 있다는 것을 보여준다. 

 

또, 자속(magnetic flux)이라는 개념이 있는데, 보통 $\Phi$로 나타내며 단위는 Wb(웨버)를 사용한다. 자속 $\Phi$는 다음의 과정을 통해 $A$로 나타낼 수 있다.

$$\Phi=\int_S(\nabla\times A)\cdot ds=\oint_C A \cdot dl \quad (Wb)$$

따라서 벡터 자기장 포텐셜 $A$를 임의의 폐경로를 따라 선적분한 값은 그 폐경로가 둘러싼 면적을 통과하는 총 자속과 같다!