전자기학 [16] 정자기장 - 비오 사바르 법칙, 자기 쌍극자

비오 사바르 법칙

 

앞선 글에서 벡터 자기장 포텐셜 $A$의 해를 포아송 방정식을 통해 구했다. 그 해는 다음과 같았다.

$$A={\mu_0 \over 4\pi}\int_V {J \over R}dv$$

 

단면적 $S$를 갖는 도선에서 미소 체적 $dv$는 $Sdl$과 같다. 그리고 $JS$는 도선에 흐르는 총 전류 $I$와 같다. 이 사실들을 식으로 나타내보자.

$$Jdv=JSdl=Idl$$

이 식을 벡터 자기장 포텐셜 식에 대입하면 다음과 같은 결과가 나온다.

$$A={\mu_0 I \over 4\pi} \oint_C {1 \over R} dl \quad (Wb/m)$$

 

위 식에서 자속밀도 $B$를 구하기 위해 양변에 $\nabla \times$ 해주면,

$$B=\nabla \times A=\nabla \times ({\mu_0 I \over 4\pi}\oint_C {1 \over R} dl)={\mu_0 I \over 4\pi}\oint_C \nabla \times ({1 \over R} dl)$$

가 된다. 

 

이 때 위 식에서 피적분항 부분은 벡터 항등식에 의해 다음처럼 고쳐 쓸 수 있다.

$$\nabla \times({1\over R} dl)={1\over R} (\nabla \times dl)+(\nabla {1\over R})\times dl$$

 

이 때 $a_R$은 자기장의 근원점으로부터 관측하는 지점을 향하는 길이가 1인 단위 벡터이다. 위 식에서 $\nabla \times dl=0$이고, $\nabla({1\over R})=-a_R {1\over R^2}$라는 사실을 대입하면 아래와 같이 정리할 수 있다.

$$B={\mu_0 I \over 4\pi}\oint_V {dl\times a_R \over R^2} \quad (T)$$

 

위 식은 비오-사바르 법칙(Biot–Savart law)으로, 폐경로 $C$를 지나는 전류 $I$로 인해 발생하는 자속밀도 $B$를 구하는 공식이다. 

 

 

자기 쌍극자

 

책 예제 6-7을 보면, 작은 원형 루프에 전류가 흐를 때 멀리 떨어진 임의의 지점에서의 자속밀도를 구하는 방법을 제시하고 있다. 예제에 대한 풀이는 생략하도록 하고, 일단 그 답만 이 글에서 채용하도록 하겠다.

 

예제에 따르면 원형 루프의 반지름이 $b$, 원형 루프에 흐르는 전류가 $I$이다. 그리고 원형 루프의 중심을 원점이라고 하고 원형루프가 x-y평면에 위치한다고 했을 때 임의의 지점 $P$의 위치는 원점으로부터 $R$만큼 떨어져 있고, x축과의 각도는 $\phi$, z축과의 각도가 $\theta$를 이루는 위치에 있다.

 

이 때 벡터 자기장 포텐셜 $A$는 다음과 같이 계산된다.

$$A=\mathbf{a}_{\phi} {\mu_0 I b^2 \over 4R^2}\sin\theta$$

자속 밀도 $B$는 $B=\nabla \times A$로 구할 수 있으며, 이를 계산하면 다음과 같다. 자세한 계산 과정은 생략한다. (필자는 수학을 잘 못한다!ㅠㅡㅠ)

$$B={\mu_0 I b^2 \over 4R^3} (\mathbf{a}_R 2 \cos \theta+\mathbf{a}_{\theta}\sin \theta)$$

 

자기 쌍극자 모멘트(magnetic dipole moment)를 정의하기 위해 위의 벡터 자기장 포텐셜 표현식을 다시 써보자. 먼저 식의 분자와 분모에 $\pi$를 곱해주고 정리하면 다음과 같은 결과가 나온다.

$$A=\mathbf{a}_{\phi} {\mu_0 (I \pi b^2) \over 4\pi R^2}\sin\theta\\A={\mu_0 m \times \mathbf{a}_R \over 4 \pi R^2} \quad (Wb/m)$$

 

위 식은 자기 쌍극자 모멘트 $\mathbf{m}$을 다음과 같이 정의하고 사용한 것이다.

$$\mathbf{m}=\mathbf{a}_z I\pi b^2=\mathbf{a}_z IS \quad (A m^2)$$

자기 쌍극자 모멘트는 루프에 흐르는 전류와 루프의 면적을 곱한 값을 크기로 갖고, 루프에서 전류가 흐르는 방향을 오른손으로 감쌌을 때 엄지손가락이 향하는 방향을 가리키는 벡터이다.

 

이 자기 쌍극자 모멘트의 정의를 이용하여 자속 밀도$B$를 다시 쓰면 다음과 같다.

$$B={\mu_0 m \over 4\pi R^3} (\mathbf{a}_R 2 \cos \theta+\mathbf{a}_{\theta}\sin \theta) \quad (T)$$

 

참고로, 위에서 사용한 전류가 흐르는 작은 루프를 자기 쌍극자(magnetic dipole)라고 부른다.

 

 

(이번 글부터 벡터를 조금 다른 문자로 쓰고 있다! 그것은 필자가 LaTex 문법으로 볼드체를 쓰는 것을 이제서야 알았기 때문,,,, 앞으로는 벡터는 벡터라고 확실히 명시하겠다!)