이것저것 공대생 이야기 이것저것 공대생 이야기

이번 글에서는 얇은 에어포일에 대해서만 살펴볼 것이다. 에어포일이 매우 얇다면 캠버선을 와류면(Vortex sheet)으로 표현할 수 있기 때문에 와류면에 대한 글에서 살펴본 내용을 그대로 적용할 수 있기 때문이다. 그리고 에어포일 위아래면을 따라 유동이 흐른다고 가정할 것이다. 먼저 위 그림처럼 얇은 에어포일을 가정해보자. y축을 따라 날개가 뻗어있는 형태이며, zx평면으로 자를 때 위 그림처럼 에어포일을 볼 수 있는 형태이다. 에어포일 위의 한 점의 좌표를 (x, z)로 나타낼 때 z는 x에 대한 함수라고 쓸 수 있다. 즉, $$z=z(x)$$ 그리고 받음각이 $\alpha$인 경우를 생각하기 위해 유동이 x축과 $\alpha$를 이룬 각도로 불어온다고 하자. 에어포일 위의 임의 점 P에서의 접선이 ..

와류면(Vortex sheet): 에어포일 주위 유동에 대한 이론적 해 와류 유동(Vortex flow)에 관한 글에서 와류가 무엇인지, 어떻게 표현되는지에 대해 설명했다. 앞서 다뤘던 와류 유동의 경우 2차원 유동에 대해서만 생각해 봤었다. 이번 글에서는 3차원 공간에서의 와류 유동에 대해 생각해보자. 공간에 와류 필라멘트(Vortex filament)라고 불리는 얇은 직선이 존재하고, 와류 필라멘트 위의 모든 점에서 와류 유동은 모두 동일하다고 가정하자. 이를 그림으로 표현하면 다음과 같을 것이다. 다시 생각해보면, 와류 필라멘트와 수직인 면으로 잘랐을 때 보이는 부분이 바로 와류 유동인 것이다. 점(와류 유동)을 쌓아 선(와류 필라멘트)을 만들었으니, 이제 선(와류 필라멘트)을 쌓아 면(와류면)을 ..

와류면(Vortex sheet): 에어포일 주위 유동에 대한 이론적 해 와류 유동(Vortex flow)에 관한 글에서 와류가 무엇인지, 어떻게 표현되는지에 대해 설명했다. 앞서 다뤘던 와류 유동의 경우 2차원 유동에 대해서만 생각해 봤었다. 이번 글에서는 3차원 공간에서의 와류 유동에 대해 생각해보자. 공간에 와류 필라멘트(Vortex filament)라고 불리는 얇은 직선이 존재하고, 와류 필라멘트 위의 모든 점에서 와류 유동은 모두 동일하다고 가정하자. 이를 그림으로 표현하면 다음과 같을 것이다. 다시 생각해보면, 와류 필라멘트와 수직한 면으로 잘랐을 때 보이는 부분이 바로 와류 유동인 것이다. 점(와류 유동)을 쌓아 선(와류 필라멘트)을 만들었으니, 이제 선(와류 필라멘트)을 쌓아 면(와류면)을 ..

와류 유동(Vortex Flow) 위의 그림처럼 원점을 중심으로 동심원 형태의 유선이 존재함과 동시에, $\theta$방향 속도가 반지름에 반비례하여 줄어들도록 유동을 설정해보자. 위와 같은 유동을 와류 유동(Vortex flow)이라고 하며, $V_r=0, V_\theta=const./r$로 나타낼 수 있다. 순환(Circulation)의 정의는 다음과 같다. $$\Gamma =-\oint_C \mathbf{V}\cdot\mathbf{dS}$$ 반지름이 r인 원을 따라 순환을 계산하면 다음과 같이 $V_\theta$를 계산할 수 있다. $$\Gamma =-\oint_C \mathbf{V}\cdot\mathbf{dS}=-V_\theta (2 \pi r) \\ V_\theta=-{\Gamma\over 2\..

더블릿 유동(Doublet Flow) 이전 글에서 용출(Source flow), 용입(Sink flow), 균일 유동(Uniform flow)이 합쳐졌을 때 나타나는 Rankine oval에 대해 살펴보았다. 이번 글에서는 용출 점과 용입 점이 무한히 가까워져 생기는 특이점인 더블릿 유동(Doublet Flow)에 대해 살펴볼 것이다. 마찬가지로 왼쪽은 용출($+\Lambda$), 오른쪽은 용입($-\Lambda$)이라고 가정하고 왼쪽 그림을 살펴보자. 용출점과 점$P$가 이루는 각이 $\theta_1$, 용입점과 점$P$가 이루는 각이 $\theta_2$라고 했을 때 점$P$에서의 유선 함수 $\psi$는 다음과 같이 구할 수 있다. $$\psi={\Lambda\over 2 \pi}(\theta_1-\..

아직 유선에 대해 정확히 정의하거나 알아보지는 않았지만, 우리는 경험적으로 유동의 형태가 항상 직선과 원처럼 단순한 형태가 아닐 것이라는 것을 예상하고 있다. 이번 글에서는 복잡한 유동을 표현할 수 있도록 간단한 유동에 대해 먼저 알아본 뒤에, 간단한 유동을 중첩함으로써 복잡한 유동을 표현해 볼 것이다. 균일 유동(Uniform flow) 위 사진처럼 x축 방향과 평행한 방향으로 흐르는 유동을 균일 유동이라 한다. 먼저 속도 포텐셜 $phi$에 대한 식을 살펴보면 다음과 같다. (유선 함수/속도 포텐셜 글에서 다뤘다.) $${\partial\phi\over\partial x}=u=V_\infty \\ {\partial\phi\over\partial y}=v=0$$ 첫 번째 식을 x에 대해 적분하면 다음 ..

비압축성 유동의 속도 조건 이번 파트에서 다룰 비압축성(Incompressible) 유동은 말 그대로 유체가 압축되지 않는다는 가정을 전제로 하고 있다. 연속 방정식에 관한 글에서 살펴본 식부터 출발하여, 속도에 관한 조건이 무엇이 있는지 살펴보자. $${\partial\rho\over\partial t}+\nabla\cdot\rho\mathbf{V}=0$$ 위 식에서 주목해야 할 점은 비압축성 유동에서 밀도 $\rho$가 시간에 따라 변하지 않는다는 점이다. 따라서 ${\partial\rho\over\partial t}=0$이므로, $$\nabla\cdot\rho\mathbf{V}=0\\\rho(\nabla\cdot\mathbf{V})=0\\\nabla\cdot\mathbf{V}=0$$ 지배 방정식: ..

베르누이 방정식(Bernoulli's Equation) $$p+{1\over 2}\rho V^2=const.$$ 위의 식은 유체역학, 항공역학에서 가장 유명하다고 할 수 있는 공식 중 하나인 베르누이 방정식이다. 식이 간단하고 적용 방법 또한 간단한 만큼, 방정식을 상황에 적용하기 위해서는 여러 가정이 필요하다. 유동이 비점성(inviscid), 비회전성(irrotational), 비압축성(incompressible)을 만족해야 적용할 수 있는 방정식이기 때문에 실제 실험에서 사용하기에는 제한 사항이 많지만, 아주 간단하여 널리 쓰이는 방정식이다. 그 증명은 다음과 같다. 먼저, 지배 방정식 중 운동량 방정식으로부터 시작할 것이다. 실체적 도함수 글에서 유도한 (실체적 도함수로 표현한) x축 방향 운동량..