전자기학 [18] 정자기장 - 자기장 세기, 상대 투자율

자기장 세기

이전에 설명했던 자속 밀도 $\mathbf{B}$에 관한 식을 생각해보자.

$$\nabla \times \mathbf{B}=\mu_0 \mathbf{J}$$

이 때 외부에서 자기장이 인가된다면 체적 전류 밀도에 변화가 생길 것이다. 체적 전류 밀도에 의한 영향을 식으로 나타내면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$${1\over \mu_0}\nabla \times \mathbf{B}=\mathbf{J}+\mathbf{J}_m=\mathbf{J}+\nabla \times \mathbf{M}\\\nabla \times ({\mathbf{B}\over \mu_0}-\mathbf{M})=\mathbf{J}$$

 

위 식을 바탕으로 우리는 새로운 자기장량 '자기장 세기(magnetic field intensity)' $\mathbf{H}$를 정의할 것이다. 

$$\mathbf{H}={\mathbf{B}\over \mu_0}-\mathbf{M} \quad (A/m)$$

 

위의 식들을 결합하면 아래와 같은 식이 유도되며, 자기장 세기에 관한 중요한 식이다.

$$\nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{J} \quad (A/m^2)$$

 

위 식 양변에 면적분을 취하면 아래와 같이 정리할 수 있다. 또, 스토크스 정리를 이용해 면적분을 선적분으로 고칠 수도 있다.

$$\int_S (\nabla \times \mathbf{H})\cdot ds=\int_S \mathbf{J}\cdot ds\\\oint_C \mathbf{H}\cdot dl=I \quad (A)$$

 

매질이 자기적으로 선형(linear)이고 등방(isotropic)이라면, 자화(magnetization)는 외부 자기장 세기와 비례한다. 

$$\mathbf{M}=\chi_m \mathbf{H}$$

이 때 $\chi_m$은 자화율(magnetic susceptibility)라고 부르며, 단위는 없다. 위 식을 자속밀도 $\mathbf{B}$에 관한 식과 합쳐 다시 쓰면 아래와 같은 관계식이 나온다. 

$$\mathbf{B}=\mu_0 \mathbf{H}+\mu_0 \mathbf{M}\\=\mu_0 (1+\chi_m)\mathbf{H}\\\mu_0 \mu_r \mathbf{H} \\ =\mu \mathbf{H} \quad (Wb/m^2)$$

 

위 식에서 사용한 $\mu_r$은 매질의 상대 투자율(relative permeability)라고 불리는 특성으로, 단위는 없다. $\mu=\mu_r \mu_0$는 매질의 투자율 또는 절대 투자율로 불리는 특성이며 단위는 $H/m$를 사용한다. 

$$\mu_r=1+\chi_m={\mu \over \mu_0}$$

 

이때까지 다뤘던 식들에서 알 수 있듯이, 정전기장의 수식들과 정자기장의 수식들은 매우 닮아있다. 이는 전기장과 자기장에서 비슷한 관계가 많이 있음을 뜻하며, 각각의 장에서 비슷한 것끼리 짝지어 볼 수 있다. 

정전기장	정자기장
$\mathbf{E}$	$\mathbf{B}$
$\mathbf{D}$	$\mathbf{H}$
$\epsilon$	$1 \over \mu$
$\mathbf{P}$	$-\mathbf{M}$
$\rho$	$\mathbf{J}$
$V$	$\mathbf{A}$