항공역학 [9] 비점성, 비압축성 유동 - 베르누이 방정식, 피토 튜브(Bernoulli's Equation, Pitot Tube)

베르누이 방정식(Bernoulli's Equation)

$$p+{1\over 2}\rho V^2=const.$$

위의 식은 유체역학, 항공역학에서 가장 유명하다고 할 수 있는 공식 중 하나인 베르누이 방정식이다.

식이 간단하고 적용 방법 또한 간단한 만큼, 방정식을 상황에 적용하기 위해서는 여러 가정이 필요하다. 

유동이 비점성(inviscid), 비회전성(irrotational), 비압축성(incompressible)을 만족해야 적용할 수 있는 방정식이기 때문에 실제 실험에서 사용하기에는 제한 사항이 많지만, 아주 간단하여 널리 쓰이는 방정식이다.

그 증명은 다음과 같다.

 

먼저, 지배 방정식 중 운동량 방정식으로부터 시작할 것이다.

실체적 도함수 글에서 유도한 (실체적 도함수로 표현한) x축 방향 운동량 방정식은 다음과 같다.

$$\rho \left({Du \over Dt} \right)=-{\partial p \over \partial x}+\rho f_x+F_{x,viscous}$$

유동이 비점성이고, 체적력을 무시할 수 있다면 위 식은 다음과 같이 단순화할 수 있다.

$$\rho \left({Du \over Dt} \right)=-{\partial p \over \partial x} \\ \rho \left({\partial u \over \partial t}+u{\partial u \over \partial x}+v{\partial u \over \partial y}+w{\partial u \over \partial z} \right)=-{\partial p \over \partial x}$$

정상 유동(Steady flow)에서는 ${\partial \over \partial t}=0$이므로,

$$u{\partial u \over \partial x}+v{\partial u \over \partial y}+w{\partial u \over \partial z} =-{1\over\rho}{\partial p \over \partial x}$$

 

유선에 대한 글에서 유선의 정의를 통해 하나의 유선에 대해 다음 식이 성립함을 보였다.

$$wdy-vdz=0\\udz-wdx=0\\vdx-udy=0$$

 

위 식을 이용하여 다음 식을 이끌어낼 수 있다.

$$u{\partial u \over \partial x}+v{\partial u \over \partial y}+w{\partial u \over \partial z} =-{1\over\rho}{\partial p \over \partial x} \\ u{\partial u \over \partial x}dx+v{\partial u \over \partial y}dx+w{\partial u \over \partial z}dx =-{1\over\rho}{\partial p \over \partial x}dx \\ u{\partial u \over \partial x}dx+u{\partial u \over \partial y}dy+u{\partial u \over \partial y}dz =-{1\over\rho}{\partial p \over \partial x}dx \\ u\left( {\partial u \over \partial x}dx+{\partial u \over \partial y}dy+{\partial u \over \partial y}dz\right) =-{1\over\rho}{\partial p \over \partial x}dx\\ u (du)=-{1\over\rho}{\partial p \over \partial x}dx \\ {1\over 2}d(u^2)=-{1\over\rho}{\partial p \over \partial x}dx$$

 

y축 방향 운동량 방정식과 z축 방향 운동량 방정식을 이용하여 같은 방법을 통해 아래의 두 식을 유도할 수 있다.

$${1\over 2}d(v^2)=-{1\over\rho}{\partial p \over \partial y}dy \\ {1\over 2}d(w^2)=-{1\over\rho}{\partial p \over \partial z}dz$$

 

$u^2+v^2+w^2=V^2$라는 사실을 이용하기 위해 위 세 가지 식을 모두 더하면,

$${1\over 2}d(u^2+v^2+w^2)=-{1\over\rho}\left({\partial p \over \partial x}dx+ {\partial p \over \partial y}dy +{\partial p \over \partial z}dz\right) \\ {1\over 2}d(V^2)=-{1\over\rho}\left(dp\right) \\ dp=-\rho VdV$$

위 과정의 결과로 나온 식을 오일러 방정식(Euler Equation)이라 부르며, 체적력이 없는 비점성 유동에서 성립하는 방정식이다.

 

비압축성($\rho=const.$)이라는 한 가지 조건을 추가하여 더욱 식을 단순화해보자.

$$\int_{p_1}^{p_2}dp=-\rho\int_{V_1}^{V_2}VdV \\ p_2-p_1=-\rho \left( {{V_2}^2\over 2}-{{V_1}^2\over 2} \right) \\ p_1+{1\over 2}\rho V_1^2=p_2+{1\over 2}\rho V_2^2 \\ p+{1\over 2}\rho V^2=const.$$

 

일반적으로 회전성(rotational) 유동에 대해서 위에서 유도한 베르누이 방정식은 하나의 유선에 대해서만 성립한다.

만약 유동이 비회전성이라면 서로 다른 유선 사이에서도 식이 성립할 수 있다.

따라서 비점성, 비압축성, 비회전성 유동에서는 유동의 어떤 지점에 대해서도 베르누이 방정식이 성립한다.

 

 

피토 튜브(Pitot Tube)

위에서 공부한 베르누이 방정식을 활용하는 장치 중 하나인 피토 튜브(Pitot Tube)를 소개하겠다.

피토 튜브는 유체의 속도를 측정할 수 있는 기구인데, 주로 항공기의 앞부분에 설치하여 항공기의 속도를 측정하는 데 사용된다.

정말 굉장히 간단한 그림으로 표현하면 아래와 같다. (실제와 많이 다를 수 있음.)

위의 그림에서 유체가 왼쪽에서 오른쪽으로 흐른다고 가정하자.

B지점에서는 유체가 흐를 때 가로막는 부분이 없지만, A지점에서는 피토 튜브에 의해 유체의 흐름이 가로막히게 된다.

따라서 A지점에서는 유체의 속도가 0이 되고, B지점에서는 그렇지 않게 된다.

만약 유체가 비점성, 비압축성, 비회전성을 만족한다면 베르누이 방정식을 유동의 어느 부분에서나 적용할 수 있으므로, A지점과 B지점에서 적용해보자.

$$p_A+{1\over 2}\rho V_A^2=p_B+{1\over 2}\rho V_B^2$$

A지점에서 $V_A=0$이므로,

$$p_A-p_B={1\over 2}\rho V_B^2 \\ V_B=\sqrt{2(p_A-p_B)\over\rho}$$

위와 같은 방법으로 피토 튜브를 통해 유체의 속도를 측정할 수 있다.

 

비점성, 비압축성, 비회전성을 모두 만족해야 하므로 사실상 정확도가 아주 낮은, 무쓸모 한 게 아닌가 싶겠지만, 공기 중에서 저속(마하수 0.3 이하)으로 비행하는 항공기에서는 활용도가 아주 높다!