전자기학 [21] 정자기장 - 정자기장의 경계조건

서로 다른 매질이 접해 있는 곳에서는, 경계면을 따라 정자기장의 상태가 변할 수 있으므로 매질의 경계에 대한 조건을 살펴보는 것이 중요하다. 우리는 이미 정전기장 내에서의 경계조건에 대해 공부한 적이 있다. 그 때와 비슷한 방법으로, 경계면에 적절한 모양의 가상 경로를 그릴 수 있다. 그에 대한 그림은 아래와 같다.

 

 

위 그림에 대해 분석하기 위해 전에 공부했던, 정자기장의 기본 가정에서 다뤘던 방정식 두 가지를 가져올 것이다.

$$\nabla\cdot \mathbf{B}=0\\\nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{J}$$

 

위의 첫 번째 식을 변형하여 발산정리를 적용하는 것은 이제 익숙할 것이다. 따라서 당연하게 $a-b$를 통과하는 자속밀도$\mathbf{B}$와 $c-d$를 통과하는 자속밀도$\mathbf{B}$ 각각의 수직방향 합은 0이 될 것임을 알 수 있다. 정전기장의 경계조건 글과 비슷한 방법을 사용하면 되므로 헷갈린다면 정전기장 경계조건 글을 참고하면 좋을 것 같다.

 

두 번째 식은 예상했다시피 스토크스의 정리를 이용하여 경로를 따라 선적분을 취하면 다음과 같은 결과가 나온다.

$$\oint_C \mathbf{H} \cdot dl=I$$

이를 위의 그림에 적용하고 $b-c$의 길이와$d-a$의 길이가 0에 가깝게 수렴한다고 가정한다면 아래와 같은 결과를 얻을 수 있다.

$$\oint_{abcda} \mathbf{H} \cdot dl=\mathbf{H}_1 \cdot \Delta w+\mathbf{H}_2 \cdot (-\Delta w)=\mathbf{J}_s \Delta w \\ H_{1t}-H_{2t}=J_s $$

여기서 $J_s$는 경계면에 흐르는 표면 전류 밀도이다. 위 식을 벡터를 고려해 다시 정확히 쓰면 아래와 같이 벡터식으로 나타낼 수 있다.

$$\mathbf{a}_{n2 \to 1} \times (\mathbf{H}_1-\mathbf{H}_2)=\mathbf{J}_s \quad (A/m)$$

 

위 식에서 $\mathbf{a}_{n2 \to 1}$은 아래 2번 매질에서 위 1번 매질로 향하는, 경계면과 수직한 방향의 단위 벡터이다. 따라서 경계면을 따라 표면전류가 흐르고 있다면, 자기장 $\mathbf{H}$의 접선 성분은 불연속한 값을 가진다. 

사실 양쪽 매질의 도전율이 유한한 값일 때, 표면 전류는 존재하지 않는다. 따라서 자기장 $\mathbf{H}$의 접선 성분은 일반적인 거의 모든 물질의 경계면에서 연속한다. 자기장의 접선 성분이 불연속한 경우는 초전도체에 가까운, 이상적인 도체인 경우만 가능하다.