전자기학[23] 정자기장 - 자기력과 홀효과

 

정자기장의 기본 가정을 설명하는 글에서 자기장 $\mathbf{B}$ 내에서 속도 $\mathbf{u}$로 운동하는 전하 $q$는 아래와 같은 자기력을 받게 된다는 것을 설명했다. 

$$\mathbf{F}_m=q\mathbf{u} \times \mathbf{B} \quad (N)$$

이번 글에서는 위와 같은 여러 자기력과 그 자기력에 의한 토크 등에 대해 알아보려고 한다. 

 

홀 효과(Hall Effect)

위의 그림과 같이 직사각형 모양의 단면적을 갖는 도체가 일정하고 균일한 자기장 $\mathbf{B}$이 z방향으로 걸려있는 공간에 있다고 가정하자. 이 때 일정한 직류 전류가 y방향으로 흐르고 있으며 전류밀도를 이용해 표현하면 다음과 같다.

$$\mathbf{J}=\mathbf{a}_y J_0=Nq\mathbf{u}$$

이 때 $N$은 단위 체적(부피) 당 전하의 농도를 의미하며 $q$는 각 전하의 전하량을 의미한다.

 

위에서 말했듯이 자기장 내에서 운동하는 전하는 자기력을 받게 된다. 이 전하는 자기장과 속도 방향에 각각 수직한 방향으로 힘을 받는다. 

 

우리는 위의 매질을 도체라고 가정했으므로 전류가 흐를 때 운동하는 전하는 전자이며, 음의 전하량을 갖는다. 따라서 전자는 자기력을 받아 도체의 +x방향 면에 축적되게 된다. 그렇게 도체의 +x방향 면은 음의 부호로 대전되게 되며 도체의 -x방향 면은 상대적으로 양의 부호로 대전되게 되어 전기장이 형성된다. 

이 현상은 형성된 전기장에 의해 전자가 x축 방향으로 이동하지 않을 때까지 지속되며, 충분한 시간이 흐른 후 정상상태가 되었을 때 형성된 전기장 $\mathbf{E}_h$는 다음과 같이 계산할 수 있다.

$$q\mathbf{E}_h+q\mathbf{u}\times \mathbf{B}=0\\\mathbf{E}_h+\mathbf{u}\times \mathbf{B}=0\\\mathbf{E}_h=-\mathbf{u}\times \mathbf{B}$$

 

이를 홀 효과(Hall effect)라고 하며(hole이 아니라 Edwin Hall의 이름에서 유래했다!) 홀 효과에 의해 생성된 전기장 $\mathbf{E}_h$를 홀 전기장(Hall field)라고 한다. 전기장에 의해 도체 옆면에 전위차가 나타나며 이를 홀 전압(Hall voltage) $V_h$라고 하며 다음과 같이 유도된다.

$$V_h=-\int_0^d E_h dx=u_0 B_0 d$$

 

 

전류가 흐르는 도체에 미치는 힘

어떤 도체의 단면적이 $S$이고, 이 도체의 아주 작은 부분인 미소 길이 $dl$를 생각하자. $dl$의 방향으로 전자가 $\mathbf{u}$의 속도로 운동하고, 단위 체적 당 $N$개의 전자가 존재한다고 가정하자. 이 때 도체의 미소 길이에 작용하는 자기력 $\mathbf{F}_m$은 다음과 같이 구할 수 있다.

$$d\mathbf{F}_m=-NeS(dl)\mathbf{u}\times \mathbf{B}\\d\mathbf{F}_m=I dl \times \mathbf{B} \quad (N)$$

 

따라서 자기장 내에 경로 C를 따라 존재하는 폐회로에 가해지는 총 자기력은 다음과 같다.

$$\mathbf{F}_m=I\oint_C dl \times \mathbf{B} \quad (N)$$

 

전류가 흐르는 다른 도체(2번 도체)에 의해 자기장 $\mathbf{B}$이 생성되었고, 이 자기장에 의해 전류가 흐르는 기존 도체(1번 도체)에 미치는 자기력을 계산해보자. 비오-사바르 법칙에 의해 2번 도체에 의해 1번 도체의 위치에 생성되는 자기장 $\mathbf{B}_{21}$는 다음과 같이 구할 수 있다.

$$\mathbf{B}_{21}={\mu_0 I_2 \over 4\pi}\oint_{C_2}{dl_2 \times \mathbf{a}_{R_{21}} \over {R_{21}}^2}$$

 

위에서 구한 자기장을 자기력을 구하는 식에 대입하면 아래와 같은 결과가 나온다.

$$\mathbf{F}_{21}={\mu_0 \over 4\pi}I_1 I_2 \oint_{C_1} \oint_{C_2} {dl_1 \times (dl_2 \times \mathbf{a}_{R_{12}}) \over R_{21}^2} \quad (N)$$

 

식이 조금 복잡해 보이지만 핵심은 이것이다.

1. 자기력은 각 회로에 흐르는 전류의 곱에 비례한다.

2. 자기력은 두 회로 사이의 거리의 제곱에 반비례한다.

3. 전류의 방향이 같으면 자기력은 서로 당기는 방향으로, 전류의 방향이 반대면 자기력은 서로 밀어내는 방향으로 작용한다.