전자기학[6] 정전기장 - 정전기장의 경계조건

위의 그림에서 직사각형 경로 a-b-c-d-a를 설정하자. a-b의 길이와 c-d의 길이는 $\Delta w$이고, b-c의 길이와 d-a의 길이는 $\Delta h$이다. 전기장 E를 직사각형 경로를 따라 선적분 할 때 $\Delta h$의 길이를 0으로 수렴하도록 설정하면, b-c의 길이와 d-a의 구간에서의 적분값은 0에 수렴하므로 무시할 수 있다.

$$\oint_{abcda} E \cdot dl=E_1\cdot\Delta w+E_2\cdot(-\Delta w)=E_{1t} \Delta w-E_{2t} \Delta w=0$$

따라서, $E_{1t}=E_{2t}$가 성립하므로 매질의 경계에서 전기장 E의 접선(tangent)성분이 연속임을 알 수 있다.

 

위의 방법과 반대로, 이번에는 $\Delta h$를 0으로 수렴하게 해 수직(normal) 성분을 구할 것이다. 따라서 아래의 그림처럼 윗면과 아랫면의 면적이 $\Delta S$, 높이가 $\Delta h$이고, 높이가 0으로 수렴한다고 설정하자. 이 원기둥을 폐곡면으로 설정하여 가우스 법칙을 적용해보면, 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.

$$\oint_S D\cdot ds=(D_1\cdot a_{n2}+D_2\cdot a_{n1})\Delta S=a_{n2}\cdot (D_1-D_2)\Delta S=\rho_s \Delta S$$

이 때, $\rho_s$는 경계면 표면에 존재하는 표면전하의 밀도이다.

 

위 식을 정리하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

$$D_{1n}-D_{2n}=\rho_s \qquad (C/m^2)$$

이는 매질 사이 경계면에 전하가 존재하면 전속밀도D의 수직 성분은 불연속하며, 그 불연속 값의 차이는 면전하밀도와 같다는 것을 의미한다.

 

이번 글에서의 내용을 정리하면, 정전기장 내에서의 경계 조건을 요약하면 다음 표와 같다.

 

접선 성분(tangent)	$E_{1t}=E_{2t}$ (전기장의 접선 성분은 연속)
법선 성분(normal)	$a_{n2}\cdot(D_1-D_2)=\rho_s$ (전속밀도의 법선 성분은 표면전하밀도만큼 불연속)