항공역학 [11] 비압축성 유동 분석 (2) - 균일 유동, 용출 유동 (Uniform flow, Source flow)

아직 유선에 대해 정확히 정의하거나 알아보지는 않았지만, 우리는 경험적으로 유동의 형태가 항상 직선과 원처럼 단순한 형태가 아닐 것이라는 것을 예상하고 있다.

이번 글에서는 복잡한 유동을 표현할 수 있도록 간단한 유동에 대해 먼저 알아본 뒤에, 간단한 유동을 중첩함으로써 복잡한 유동을 표현해 볼 것이다.

 

균일 유동(Uniform flow)

위 사진처럼 x축 방향과 평행한 방향으로 흐르는 유동을 균일 유동이라 한다. 

 

먼저 속도 포텐셜 $phi$에 대한 식을 살펴보면 다음과 같다. (유선 함수/속도 포텐셜 글에서 다뤘다.)

$${\partial\phi\over\partial x}=u=V_\infty \\ {\partial\phi\over\partial y}=v=0$$

첫 번째 식을 x에 대해 적분하면 다음 식을 얻을 수 있고,

$$\phi=V_\infty x+f(y)$$

두 번째 식을 y에 대해 적분하면 다음 식을 얻을 수 있다.

$$\phi=g(x)+const.$$

 

위의 두 식이 같은 함수인 것을 생각하자. 

위를 만족하는 $\phi$는 다음과 같다. (적분 상수는 무시하자.)

$$\phi=V_\infty x$$

 

이번에는 유선 함수 $\psi$에 대한 식을 살펴보자.

$${\partial\psi\over\partial y}=u=V_\infty \\ {\partial\psi\over\partial x}=-v=0$$

속도 포텐셜과 같은 방법을 통해 $\psi$를 구할 수 있다.

첫 번째 식은 y에 대해 적분하고, 두 번째 식은 x에 대해 적분한 후 비교하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다. (이번에도 역시 적분 상수는 무시하자.)

$$\psi=V_\infty y$$

 

이로써 속도 포텐셜은 x에 관한 함수이므로 y축을 따라 일정하다는 것을 알 수 있고, 반대로 유선 함수는 y에 관한 함수이므로 x축을 따라 일정하다는 것을 알 수 있다.

 

직교 좌표계를 극좌표계로 나타내면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

$$\phi=V_\infty r \cos\theta \\ \psi=V_\infty r \sin\theta$$

이때, $\theta$는 원점과 어떤 점 사이의 각도이다.

 

용출 유동(Source Flow)

이번에는 원점으로부터 유선이 뻗어져 나오는, 즉 한 점으로부터 유체가 뿜어져 나오는 유동에 대해 살펴보자. 

그림으로 그려보면 위의 그림처럼 유선이 형성 될텐데, 이와 정반대인 용입 유동(Sink flow) 역시 비슷한 방법으로 정의할 수 있다.

용입 유동은 용출 유동과 완전히 반대 현상으로, 유선들이 원점을 향하는 방향으로 배치되어 있는 유동이다.

간단하게 말해 유동이 점으로부터 뿜어져 나오면 용출, 유동이 점으로 빨려 들어가면 용입 유동이다.

 

원점으로부터 흘러나오는 유동의 부피를 $\Lambda$라고 하자. 

원점을 중심으로 하고 반지름이 $r$인 원을 생각해보자.

비압축성 유동이므로 원점에서 나온 유동의 부피가 원을 통과하는 유동의 부피가 동일해야한다.

원에서의 유동의 속도를 극좌표계 기준으로 $V_r, V_\theta$라고 나타낸다면, 원을 통과하하는 유동의 부피는 다음과 같이 구할 수 있다.

$$\dot v=\int_0^{2\pi}{V_r r d\theta}=2\pi r V_r$$

따라서 $V_r$을 $\Lambda$로 나타낸다면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$\Lambda=2\pi r V_r \\ V_r={\Lambda\over 2\pi r}$$

균일한 유동이므로, $V_\theta=0$임은 당연히 알 수 있다.

 

위에서 구한 속도를 토대로 다음과 같이 속도 포텐셜과 유선 함수를 구할 수 있다.

$$V_r={\partial\phi\over\partial r}={\Lambda\over 2\pi r} \\ V_\theta={1\over r}{\partial\phi\over\partial \theta}=0$$

첫 번째 식을 $r$에 대해 적분하고, 두 번째 식을 $\theta$에 대해 적분하여 두 값을 비교하면 다음 식을 얻는다.

$$\phi={\Lambda\over 2\pi }\ln r $$

 

$$V_r={1\over r}{\partial\psi\over\partial \theta}={\Lambda\over 2\pi r} \\ V_\theta= -{\partial\psi\over\partial r}$$

첫 번째 식을 $\theta$에 대해 적분하고, 두 번째 식을 $r$에 대해 적분하여 비교하면,

$$\psi={\Lambda\over 2\pi }\theta$$

 

 

균일 유동, 용출, 용입의 조합(Superposition)

이 글의 처음 부분에서 복잡한 유선의 형태를 단순한 유선의 형태를 중첩시킴으로써 표현하겠다고 말했었다.

 

이번에는 균일 유동과 용출, 용입 유동을 중첩한 유동을 살펴보도록 하겠다.

 

원점을 기준으로 왼쪽으로 $b$만큼 떨어진 곳에 용출(Source), 오른쪽으로 $b$만큼 떨어진 곳에 용입(Sink), 왼쪽에서 오른쪽으로 균일 유동(Uniform flow)가 흐르는 상황을 가정해보자.

 

위와 같은 그림처럼 유선이 형성될텐데, 이 유선은 어떻게 생겼는지 살펴보자.

위에서 말한대로 세 종류의 유동을 단순히 중첩시킴(Superposition)으로써 위의 유동을 표현할 것이다.

임의 점 $P$는 극좌표계로 나타내었을 때 원점으로부터 $(r,\theta)$ 위치에 있다고 가정하자. 

왼쪽 용출 점으로부터 각도는 $\theta_1$, 오른쪽 용입 점으로부터 각도는 $\theta_2$라고 하자.

 

균일 유동으로 인한 유선 함수: $V_\infty r \sin\theta$

용출로 인한 유선 함수:${\Lambda\over 2\pi }\theta_1$

용입으로 인한 유선 함수:$-{\Lambda\over 2\pi }\theta_2$(흘러들어가므로 음수)

따라서 모든 유동에 대해 중첩한 유선 함수의 합은 다음과 같다.

$$V_\infty r \sin\theta+{\Lambda\over 2\pi }\theta_1-{\Lambda\over 2\pi }\theta_2=const.$$

 

이때 유동의 속도가 0이 되는 정체점(Stagnation Point)은 x축 상에 생기게 되며, 정체점을 지나는 유선에 대해 $\psi=0$이라고 설정한다면 정체점을 지나는 유선의 식은 다음과 같다.

$$V_\infty r \sin\theta+{\Lambda\over 2\pi }(\theta_1-\theta_2)=0$$

이 식은 타원형 방정식이 되어 위 그림처럼 타원형의 유선 함수가 형성된다.

 

타원 바깥에서 본다면 타원 내부는 고체 물체로 대신할 수 있고, 타원 외부는 비점성, 비회전성, 비압축성의 유동으로 해석할 수 있다.

이러한 타원형 형상을 Rankine oval이라고 한다.