항공역학 [13] 비압축성 유동 분석 (4) - 와류 유동(Vortex Flow), 실린더 주위 양력 유동, Kutta-Joukowski Theorem

와류 유동(Vortex Flow)

 

위의 그림처럼 원점을 중심으로 동심원 형태의 유선이 존재함과 동시에, $\theta$방향 속도가 반지름에 반비례하여 줄어들도록 유동을 설정해보자.

위와 같은 유동을 와류 유동(Vortex flow)이라고 하며, $V_r=0, V_\theta=const./r$로 나타낼 수 있다.

 

순환(Circulation)의 정의는 다음과 같다.

$$\Gamma =-\oint_C \mathbf{V}\cdot\mathbf{dS}$$

 

반지름이 r인 원을 따라 순환을 계산하면 다음과 같이 $V_\theta$를 계산할 수 있다.

$$\Gamma =-\oint_C \mathbf{V}\cdot\mathbf{dS}=-V_\theta (2 \pi r) \\ V_\theta=-{\Gamma\over 2\pi r}$$

 

이제 유선 함수를 다음과 같이 계산할 수 있다.

$$V_r={1\over r}{\partial\psi\over\partial\theta}=0 \\ V_\theta=-{\partial\psi\over\partial r}=-{\Gamma\over 2\pi r}$$

두 식을 각각 적분하여 비교하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

$$\psi={\Gamma\over 2\pi}\ln r$$

 

속도 퍼텐셜의 경우도 계산할 수 있다.

$$V_r={\partial\phi\over\partial r}=0 \\ V_\theta={1\over r}{\partial\phi\over\partial \theta}=-{\Gamma\over 2\pi r}$$

두 식을 각각 적분하여 비교하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

$$\phi=-{\Gamma\over 2\pi}\theta$$

 

 

실린더 주위의 양력 유동

 

이전 글에서 더블릿 유동과 균일 유동을 중첩시켜 실린더 주위 유동을 표현했다.

이번에는 실린더 주위 유동에 와류 유동을 중첩시켜 실린더에서 양력이 생성되는 유동을 표현해보자.

 

유동을 중첩시킬 때, 단순히 유선 함수의 합을 구함으로써 중첩된 유동의 유선 함수를 구할 수 있다.

실린더 주위 유동의 유선 함수는 다음과 같이 표현되며,

$$\psi_1=(V_\infty r \sin\theta)\left( 1-{R^2\over r^2}\right)$$

와류로 인한 유선 함수는 다음과 같이 표현된다.

$$\psi_2={\Gamma\over 2\pi}\ln r+const.$$

 

반지름이 $R$인 원 위에서 유선 함숫값이 0이 되도록 설정하기 위해 상수값을 조절해보자.

$$\psi_2={\Gamma\over 2\pi}\ln r-{\Gamma\over 2\pi}\ln R$$

 

이제 중첩된 유동의 유선 함수를 다음과 같이 구할 수 있다.

$$\psi=\psi_1+\psi_2=(V_\infty r \sin\theta)\left( 1-{R^2\over r^2}\right)+{\Gamma\over 2\pi}\ln {r\over R}$$

 

유선 함수를 구했으므로, 실린더 주위 유동의 속도를 다음과 같이 구할 수 있다.

$$V_r={1\over r}{\partial\psi\over\partial\theta}=V_\infty \cos\theta\left( 1-{R^2\over r^2}\right) \\ V_\theta=-{\partial\psi\over\partial r}=-V_\infty \sin\theta\left( 1+{R^2\over r^2}\right)-{\Gamma\over 2\pi r}$$

 

유동 내 정체점의 위치를 계산하기 위해 모든 속도가 0이 되는 지점을 계산해보자.

$V_r=0$을 통해 $r=R$을 계산해낼 수 있고, 이 결과를 $V_\theta=0$에 대입하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

$$\sin\theta=-{\Gamma\over 4\pi V_\infty R}$$

 

위 식을 보면 알 수 있듯이, $\Gamma$의 값에 따라 만족하는 $\theta$의 값이 달라진다.

$\Gamma$가 $4\pi V_\infty R$보다 작다면 위 식을 만족하는 $\theta$는 두 개가 존재할 것이고, $\Gamma$와 $4\pi V_\infty R$가 같다면 위 식을 만족하는 $\theta$는 $-\pi/2$ 하나일 것이다.

$\Gamma$가 $4\pi V_\infty R$보다 크다면 위 식을 만족하는 $\theta$는 존재하지 않을 것이다.

 

이 세 경우에 대해 유선을 그려보면 다음과 같다.

위 그림에서 정체점을 빨간 점으로 나타내었는데, $\Gamma$가 $4\pi V_\infty R$보다 큰 경우 정체점이 실린더 위에서 나타나지 않는다는 것을 확인할 수 있다.

 

 

Kutta-Joukowski Theorem

 

이번 실린더 주위 유동을 잘 살펴보면, 와류가 존재하지 않을 때와는 달리 유선이 x축에 대해 대칭을 이루지 않는다는 것을 알 수 있다.

이로써 실린더의 위아래 압력 계수 분포가 달라지고, 양력이 발생할 수 있겠다는 추측이 가능하다.

실제로 실린더 표면을 따라 압력 계수를 계산한 후 적분하여 양력 계수를 계산해보겠다.

 

비점성, 비압축성 유동 내 물체 표면에서의 압력 계수는 앞의 글에서 말했듯이 다음 식을 통해 구할 수 있다.

$$C_p=1-\left( {V\over V_\infty} \right) ^2$$

물체 표면에서 $V=V_\theta$이므로

$$C_p=1-\left( {V_\theta\over V_\infty} \right) ^2 \\ = 1-\left( -2\sin\theta -{\Gamma \over 2\pi R V_\infty}\right) ^2 \\ =1-\left[ 4 \sin ^2 \theta+{2\Gamma\sin\theta\over\pi R V_\infty}+\left( {\Gamma \over 2\pi R V_\infty}\right) ^2\right]$$

 

이렇게 구한 표면에서의 압력 계수를 윗면과 아랫면에 대해 각각 적분하여 양력 계수를 구하면 다음과 같은 결과가 나온다.(과정은 이전 장에서 보인 것과 비슷하므로 생략한다.)

$$c_l={\Gamma\over R V_\infty}$$

 

$c_l$의 정의인 $L'=q_\infty S c_l={1\over 2}\rho_\infty V_\infty^2 S c_l $로부터 아래의 식을 유도할 수 있다. 이때 실린더에서 평면 면적은 $S=2R$을 만족한다.

$$L'={1\over 2}\rho_\infty V_\infty^2 2R{\Gamma\over R V_\infty} \\ =\rho_\infty V_\infty\Gamma$$

이로써 스팬 방향 길이당 양력은 순환과 비례하여 나타난다는 사실을 알 수 있고, 이러한 관계식을 Kutta-Joukowski Theorem이라고 한다.

참고로 실린더 주위 유동에만 국한되어 나타나는 현상이 아니라, 임의의 폐경로에 대해서도 적용할 수 있는 정리이다.

따라서 에어포일의 양력을 계산할 때도 유용하게 사용되는 정리이다.