전자기학 [19] 정자기장 - 자기회로

자기회로

우리는 앞선 글에서 전기회로 문제들을 여러가지 접했다. 전기회로의 경우 전압원 또는 전류원에 의해 회로의 여러 소자들에 걸리는 전압과 전류를 구하는 경우가 많다. 바로 이전 글의 마지막에서 살펴봤듯이, 전기장과 자기장에는 비슷한 관계가 많이 있다. 그렇다면 자기 회로도 전기 회로와 비슷한 부분이 많을 것으로 기대할 수 있을 것 같다!

 

자기 회로에서는 회로의 여러 부분에서 생기는 자속과 자기장 세기를 구하는 것에 가장 관심을 두고 있다. 주로 우리는 변압기(transformer)나 발전기(generator), 모터 등의 분석에 자기 회로 문제를 적용하여 문제를 해결할 것이다. 

 

가장 기초적인 가정부터 시작할 것이다. 우리는 아래와 같이 이미 정자기장의 가장 기본적인 수식 두 가지를 공부했다. 

$$\nabla \cdot \mathbf{B}=0\\\nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{J}$$

 

위의 두 번째 식 양변에 면적분을 취한다면 스토크스의 정리의 의해 아래와 같이 변환될 수 있다.

$$\int_S \nabla \times \mathbf{H}ds=\oint_C \mathbf{H}\cdot dl=NI=V_m$$

위의 $V_m$은 기자력(magnetomotive force, mmf)이라고 불리며, 전기회로에서 기전력 $V$와 유사한 역할을 하고 단위는 $At$(암페어*턴수)를 사용한다. 기전력과 마찬가지로 뉴턴을 사용하지 않는다!

 

 

앞에서 봤듯이 자기 회로는 전기 회로와 많은 유사점을 보인다. 어떠한 변수들이 서로 비슷한지 아래의 표에 정리해 보겠다.

자기회로	전기회로
기자력 $V_m(=NI)$	기전력 $V$
자속 $\Phi$	전류 $I$
자기저항$\mathcal{R}$	저항$R$
투자율$\mu$	전도도$\sigma$

여기서 자속 $\Phi$은 자속밀도 $B$가 일정하다고 가정했을 때 $(\Phi\simeq BS)$가 성립한다.

 

전기회로와 마찬가지로 자기회로에서도 키르히호프의 법칙과 유사한 법칙이 있다. 키르히호프의 전압법칙과 비슷하게 자기회로의 임의의 폐경로를 따라 기자력을 더한 것은 자기저항과 자속을 곱한 것을 모두 더한 것과 같다는 것이다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다. 

$$\sum_i N_i I_i =\sum_j \mathcal{R}_j \Phi_j$$

 

키르히호프의 전류법칙과 비슷한 법칙도 있다. 자기회로에서 임의의 지점에서 흘러나가는 자속의 총합은 0이라는 것이다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

$$\sum_k \Phi_k=0$$

 

 

사실 전기회로와는 다르게 자기회로에서는 정확한 분석이 불가능할 때가 많다. 왜냐하면 전류의 경우 전류가 전선 밖으로 흘러나가는 일은 거의 없지만, 자속의 경우는 자기회로 바깥으로 흘러나가는 일이 종종 있기 때문이다. 따라서 자기회로의 경우 전기회로에 비해 정확한 해석이 어려운 점이 많다.