항공역학 [4] 지배 방정식 - 연속 방정식(Continuity Equation)

공간에 대해 고정되어있는 특정 검사 체적(control volume)에 대해 유체의 운동을 살펴보자. 

검사 체적(control volume)이 공간에 대해 고정되어 있으므로 검사 체적 $V$와 검사 체적을 둘러싼 검사 표면 $S$는 시간에 따라 변하지 않는다. 

그와 반대로, 검사 체적 안의 유체의 특성은 시간에 따라 변할 수 있다.

 

 

질량 유동(mass flow)

 

먼저 질량 유동이라는 개념에 대해 정의해보겠다.

아래의 그림과 같이 유동 내에 있는 임의의 충분히 작은 면적 $A$가 있다고 가정해보자.

 

 

$A$는 충분히 작으므로 $A$를 통과하는 유체의 속도 $V$가 균일하다고 생각할 수 있다.

미소 시간 $dt$동안 유체 요소가 지나가는 거리는 $Vdt$이고, 위의 그림에서 빗금 친 영역에 해당한다.

회색 영역의 체적은 높이에 밑면적을 곱한 값이므로 아래와 같다.

$$\text{회색 영역의 체적}=(V_ndt) A$$ 

빗금 친 영역의 질량은 체적에 밀도를 곱한 값이므로 쉽게 알 수 있다.

$$\text{회색 영역의 질량}=\rho (V_ndt)A$$

 

질량 유동이란 단위 시간당 검사 체적을 통과한 질량이므로 질량 유동 $\dot m$은 아래의 식처럼 정의된다.

$$\dot m={\rho(V_ndt)A\over dt}=\rho V_nA$$

 

질량 유동과 비슷하게, 질량 플럭스(mass flux)라는 개념이 있다. 

질량 플럭스는 단위 면적 당 질량 유동으로 정의되며, 식으로 나타내면 아래와 같다.

$$\text{질량 플럭스}={\dot m \over A}=\rho V_n$$

 

 

연속 방정식(continuity equation)

 

이제 아래의 물리적 원리를 이용해 연속 방정식을 유도해보자.

 

물리적 원리 : 질량은 생성되거나 소멸되지 않는다.

 

 

 

위의 그림처럼 공간 상에 고정된 검사 체적을 고려해보자.

검사 체적을 둘러싼 검사면 상의 한 점에서 유동의 속도가 $V$, 점의 요소 면적 벡터가 $dS$라고 하자.

위의 물리적 원리에 의해 검사 체적을 빠져나가는 순 질량 유동은 검사 체적 내 질량의 시간에 대한 감소율과 같다.

그리고 $\rho V_n dS$는 $\rho V \cdot dS$로 나타낼 수 있으므로 $dS$를 빠져나가는 순 질량 유동은 아래의 식처럼 나타낼 수 있다.

$$\text{dS를 빠져나가는 순 질량 유동}=\rho V_n dS=\rho V\cdot dS$$

 

따라서 검사 체적을 빠져나가는 순 질량 유동은 위의 식을 전체 검사면에 대해 적분함으로써 구할 수 있다. 

참고로, 이때 양의 방향은 검사 체적을 빠져나가는 방향이다.

$$\text{검사면을 통해 빠져나가는 순 질량 유동}=\iint_S \rho V \cdot dS$$

 

이번에는 검사 체적 내 질량의 시간에 대한 감소율을 식으로 표현해보자.

우선 검사 체적 내 질량은 $\iiint_V \rho dV$로 나타낼 수 있다.

따라서 검사 체적 내 질량의 시간에 대한 감소율은 다음과 같다.

참고로, 감소율이므로 음의 부호를 사용했다.

$$\text{검사 체적 내 질량의 시간에 대한 감소율}= -{\partial \over \partial t}\iiint_V \rho dV$$

 

검사 체적을 빠져나가는 순 질량 유동은 검사 체적 내 질량의 시간에 대한 감소율과 같다고 했으므로, 아래의 식이 성립하게 된다.

$$\iint_S \rho V \cdot dS= -{\partial \over \partial t}\iiint_V \rho dV$$

$$\iint_S \rho V \cdot dS+{\partial \over \partial t}\iiint_V \rho dV=0$$

 

위 식을 연속 방정식(continuity equation)이라 하며, 유체역학의 기본 방정식 중 하나이다.

 

이제 위 식을 조금씩 변형시켜 미분형을 유도해 볼 것이다.

먼저 발산 정리를 이용해 연속 방정식의 두 번째 항을 변형시켜 보면 다음과 같다.

$$\iint_S \rho V \cdot dS=\iiint_V \nabla \cdot (\rho V)dV$$

 

아래로는 어려운 과정이 아니므로 차례차례 따라오면 금방 이해할 수 있을 것이다.

 

$$\iint_S \rho V \cdot dS+{\partial \over \partial t}\iiint_V \rho dV=0$$

$$\iiint_V \nabla \cdot (\rho V)dV+{\partial \over \partial t}\iiint_V \rho dV=0$$

$$\iiint_V \left[ \nabla \cdot (\rho V)+{\partial \over \partial t}\rho \right] dV=0$$

$$\nabla \cdot (\rho V)+{\partial \rho \over \partial t}=0$$

위 식은 연속 방정식의 미분 방정식 형태이고, 유동 내 임의 지점에서의 상태를 표현하는 방정식이다.

 

 

만약 시간에 따라 변하지 않는 정상(steady) 유동의 경우 시간 항이 없어지므로 아래와 같이 간략하게 나타내질 수 있다.

$$\nabla \cdot (\rho V)=0$$