항공역학 [2] 기본 원리 - 공기역학적 힘과 모멘트

비행기에 작용하는 대표적인 힘 4가지는 양력, 항력, 중력, 추력이다.

간단하게 설명하자면, 양력은 뜨는 힘, 중력은 떨어지는 힘, 추력은 앞으로 나아가는 힘, 항력은 뒤로 끌리는 힘이라고 할 수 있다.

그럼 이 네가지 힘 중 공기역학에서 주로 다루는 공력(공기력, aerodynamic force)인 양력, 항력을 중심으로 생각해보자. 

 

공력 (공기력, aerodynamic force)

 

공기에 의해 생기는 힘과 모멘트의 원인은 단 두 가지다.

공기에 의해 생기는 물체 표면에서의 압력, 물체 표면에서의 전단 응력(shear stress)이 그것이다.

압력과 전단 응력의 단위는 모두 제곱미터 당 뉴턴, ($N/m^2, Pa$)을 사용하며, 압력은 물체 표면에 수직 하게 작용하고 전단 응력은 물체 표면에 접하게 작용한다. 

압력 $p$와 전단 응력 $\tau$를 그림을 통해 나타내면 다음과 같다. 이 때 $s$는 위치를 나타내는 변수이다.

 

 

수직력(normal force), 축력(axial force)

 

위의 상황에서 $p$와 $\tau$를 모든 표면에 대해 적분한다면, 날개 전체에 작용하는 힘과 모멘트의 총합을 구할 수 있을 것이다.

이때 힘의 합력을 $\mathbf{R}$이라고 했을 때 $\mathbf{R}$을 수직 방향과 수평 방향으로 나누어 생각할 수 있을 것이다.

수평 방향을 날개의 방향과 일치하게 잡는다면, 수직 방향 힘을 수직력(normal force) $\mathbf{N}$라고 정의하고, 수평 방향 힘을 축력(axial force) $\mathbf{A}$라고 정의한다. 

날개의 수평 방향을 보통 chord(시위)를 기준으로 잡는데, chord는 날개에서 앞쪽 끝과 뒤쪽 끝을 잇는 직선이라고 생각하면 된다.

이를 그림으로 나타내면 다음과 같다. ($\mathbf{N}$과 $\mathbf{A}$를 중심으로 보면 된다.)

 

 

양력(Lift), 항력(Drag), 받음각(Angle of Attack, AOA)

 

양력과 항력을 정의하기 전에, 상대 바람(relative wind)에 대해 설명을 하고 넘어가야 한다.

날개가 공기 속에서 운동할 때 대부분의 경우 날개의 chord 방향과 바람의 방향은 일치하지 않는다. 

그래서 바람의 방향을 설정해 주어야 하는데, 이때 바람의 방향은 멀리서 불어오는 공기 유동인 자유 흐름(freestream)이라고 하며, $\mathbf{V}_{\infty}$로 표시한다.

그렇다면 이제 양력$\mathbf{L}$과 항력$\mathbf{D}$을 정의할 수 있다. 

양력은 날개에 가해지는 총 힘 $\mathbf{R}$ 중 $\mathbf{V}_{\infty}$에 수직 방향 성분이라고 정의할 수 있으며, 항력은 $\mathbf{R}$ 중 $\mathbf{V}_{\infty}$에 평행 방향 성분이라고 정의할 수 있다.

이를 그림에 나타내면 아래 그림과 같다.

이때 그림에서 볼 수 있는 각도 $\alpha$를 받음각(Angle of Attack, AOA)라고 하며 날개의 chord와 상대 바람(relative wind), 또는 자유 흐름(freestream) 사이의 각도를 말한다.

 

 

결과적으로 날개에 가해지는 합력 $\mathbf{R}$을 양력과 항력, 수직력과 축력으로 각각 분해한 것이므로 서로 밀접한 관계가 있음은 자명하다.

따라서 양력과 항력을 수직력, 축력, 받음각을 사용해 표현할 수 있다.

삼각함수를 간단히 응용한 것이므로 증명은 생략하고 결과만 아래에 적기로 하겠다.

$$\mathbf{L}=\mathbf{N}\cos\alpha-\mathbf{A}\sin\alpha \\ \mathbf{D}=\mathbf{N}\sin\alpha + \mathbf{A}\cos\alpha$$

 

 

적분을 통한 수직력, 축력 계산

 

이 글 초반부에서 공력을 계산할 때 물체 표면에 가해지는 압력을 적분하여 공력을 계산한다고 언급한 적이 있다.

그렇다면 아래의 그림을 토대로, 직접 압력을 적분하여 수직력과 축력을 계산해보자.

계산의 편의성을 위해 chord를 x축과 일치시킨 모습이다.

각 압력이 가해지는 요소 표면적(element surface)을 $ds$라고 하자.

그렇다면 날개의 윗면의 요소 표면적에 가해지는 힘 $\mathbf{N}_u$과 날개 아랫면의 요소 표면적에 가해지는 수직력 $\mathbf{N_d}$ 를 각각 구해보자.

$$d\mathbf{N}_u=(-p_u\cos\theta - \tau_u \sin\theta )ds_u\\d\mathbf{N}_l=(p_l\cos\theta - \tau_l \sin\theta )ds_l$$

 

이와 비슷한 방법으로 축력 $\mathbf{A}_u$, $\mathbf{A}_d$ 또한 계산할 수 있다.

$$d\mathbf{A}_u=(-p_u\sin\theta + \tau_u \cos\theta )ds_u\\d\mathbf{A}_l=(p_l\sin\theta + \tau_l \cos\theta )ds_l$$

 

$dN$끼리 적분하여 수직력을, $dA$끼리 앞전부터 뒷전까지 적분하여 축력을 구할 수 있다.

이때 앞전은 Leading edge를 의미하는 LE, 뒷전은  Trailing edge를 의미하는 TE라고 표기하였다.

$$\mathbf{N}=-\int_{LE}^{TE} {(p_u \cos \theta_u+\tau_u \sin \theta_u)}ds_u+\int_{LE}^{TE} {(p_l \cos \theta_l-\tau_l \sin \theta_l)}ds_l \\ \mathbf{A}=\int_{LE}^{TE} {(-p_u \sin \theta_u+\tau_u \cos \theta_u)}ds_u+\int_{LE}^{TE} {(p_l \sin \theta_l+\tau_l \cos \theta_l)}ds_l$$

 

모멘트 계산

 

추가적으로, 날개에 가해지는 모멘트(토크, torque) 역시 구할 수 있다. 

모멘트는 어느 곳을 중심으로 잡는지에 따라 달라지므로 날개의 앞전, leading edge를 모멘트의 중심으로 잡고 계산해보면 다음과 같은 결과가 나온다. 

참고로, 공기역학에서 모멘트의 방향에 대한 약속이 있는데, 기수가 들리는 방향(pitch up), 즉 날개의 앞전이 들리는 방향을 (+)로 약속하기로 한다.

$$M_{LE}=\int_{LE}^{TE} [(p_u\cos\theta + \tau_u \sin\theta)x-(p_u\sin\theta - \tau_u\cos\theta)y]ds_u\\+\int_{LE}^{TE} [-(p_l\cos\theta + \tau_l \sin\theta)x+(p_l\sin\theta + \tau_l\cos\theta)y]ds_l$$

 

 

동압(dynamic pressure)

 

공기역학에서 자주 사용되는 무차원 힘과 모멘트 계수를 계산하기 위해 동압(dynamic pressure)이 필요하다.

이는 압력계(manometer)로 측정하는 값과는 다른 값으로, 아래와 같이 정의되는 값이다.

이때 $\rho_\infty$는 멀리 떨어진 지점에서의 자유 흐름의 밀도를 의미하며, $V_\infty$는 속도를 의미한다.

$$q_\infty={1\over 2}\rho_\infty V_\infty^2$$

 

 

무차원 계수

 

이제 무차원 힘과 모멘트 계수를 정의할 수 있다.

주로 사용되는 계수들을 아래에 정리해 놓았다. 이 때 $S$는 날개의 면적이며, $l$은 시위(chord)의 평균 길이이다.

 

양력 계수 : $\qquad C_L={L \over q_\infty S}$

항력 계수 : $\qquad C_D={D \over q_\infty S}$

수직력 계수 : $\qquad C_N={N \over q_\infty S}$

수평력 계수 : $\qquad C_A={A \over q_\infty S}$

모멘트 계수 : $\qquad C_M={M \over q_\infty Sl}$

 

 

추가적으로, 압력 계수와 표면 마찰 계수는 아래와 같이 정의된다. 이 때 $p$는 측정되는 정압(static pressure)을 의미하며, $p_\infty$는 자유흐름의 정압을 의미한다.

 

압력 계수 : $\qquad C_p={p- p_\infty \over q_\infty}$

표면 마찰 계수 : $\qquad C_={\tau \over q_\infty}$

 

 

만약 2차원 형태의 에어포일(위 그림처럼 xy평면에 대해 (날개 방향으로) 잘랐을 때 단면적이 모두 동일한 에어포일)의 경우 아래처럼 표시한다.

이때 $c$는 시위(chord)의 길이이다.

 

$$c_l={L\over q_\infty c} \\ c_d={D\over q_\infty c} \\ c_m={M\over q_\infty c^2}$$

 

 

위에서 사용한 삼각함수 응용 방법을 통해 양력 계수와 항력 계수를 수직력 계수, 수평력 계수, 받음각을 사용해 나타낼 수 있다.

위와 마찬가지로 간단한 삼각함수 응용이므로 결과만 작성하겠다.

$$c_l=c_n\cos\alpha - c_a \sin\alpha \\ c_d=c_n\sin\alpha + c_a \cos\alpha$$