항공역학 [6] 지배 방정식 - 에너지 방정식(Energy Equation)

유체의 밀도 $\rho$가 일정한 비압축성 유동에서의 주요 변수는 압력 $p$와 속도 $\mathbf{V}$이다.

앞서 다뤘던 연속 방정식과 운동량 방정식은 미지 변수 $p$와 $\mathbf{V}$로 표현할 수 있는데, 이는 곧 비압축성 유동의 경우 연속 방정식과 운동량 방정식 만으로도 표현이 가능하다는 것을 의미한다.

 

하지만 유체의 밀도 $\rho$가 시간에 따라 변하는 압축성 유동의 경우, 위의 두 방정식 이외의 추가적인 방정식이 필요함을 유추할 수 있다. 따라서 이번에는 온도와 에너지 등에 관련한 방정식인 에너지 방정식에 대해 살펴보도록 하겠다.

 

물리적 원리: 에너지는 생성될 수도 소멸될 수도 없으며, 에너지의 형태만 변한다.

 

위에서 제시된 물리적 원리는 열역학 제1법칙에 포함되는 내용이다. 열역학 제1법칙을 간단하게 설명하자면, 임의의 검사 체적 내의 물체와 검사체적 외부의 환경 사이에 주고받는 에너지에 관한 내용이다.

 

외부 환경으로부터 물체에 가해진 열량이 $\delta q$, 외부 환경으로부터 물체에 가해진 일이 $\delta w$, 물체의 내부 에너지 변화량을 $de$라고 한다면, 에너지가 보존된다는 물리적인 원리에 의해 다음 식이 성립한다.

$$\delta q+\delta w=de$$

 

위 식을 임의의 고정된 검사 체적을 통과하는 유체에 대해 적용해보기 위해 $B_1, B_2, B_3$을 다음과 같이 정의해 볼 것이다.

$$B_1=\text{단위 시간당 외부 환경으로부터 유체에 가해진 열량}\\B_2=\text{단위 시간당 유체에 가해진 일}\\B_3=\text{단위 시간당 유체의 에너지 변화량}$$

 

위에서 살펴본 열역학 제1법칙을 통해 다음 식이 성립함을 알 수 있다.

$$B_1+B_2=B_3$$

 

먼저 $B_1$이 어떻게 표현될 수 있는지 생각해보자. 열량이 외부로부터 유체로 전해지기 위해서는 크게 두 가지 방법이 있다. 먼저 연료의 화학적 연소과정에 의한 열량이 전해질 수 있고, 유체의 점성에 의해 가열되는 열량이 있을 것이다.

 

단위 질량당, 단위 시간당 가열률을 $\dot q$라고 한다면, 전체 검사 체적에 대한 시간당 가열률은 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$\iiint_V \dot q \rho dV$$

 

유동의 점성에 의해 발생하는 가열률은 단순히 $\dot Q_{viscous}$라고 표현하자.

 

그렇다면 $B_1$은 위에서 구한 두 식의 합으로 나타내어진다.

$$B_1=\iiint_V \dot q \rho dV+\dot Q_{viscous}$$

 

 

$B_2$를 표현하기 위해, 어떤 물체에 힘 $\mathbf{F}$가 가해지는 상황을 가정해보자. 물체에 가해지는 단위 시간당 일, 즉 일률은 다음과 같이 구할 수 있다.

$$\text{움직이는 물체의 일률}=\mathbf{F}\cdot\mathbf{dr}/dt=\mathbf{F}\cdot (\mathbf{dr}/dt)=\mathbf{F}\cdot\mathbf{V}$$

 

그렇다면 임의의 검사 체적 내의 유체에 작용하는 힘을 살펴볼 필요가 있다. 먼저, 검사 체적을 둘러싸고 있는 검사면에 작용하는 압력에 의한 압력 힘이 있을 것이고, 검사 체적의 미소 체적에 대해 작용하는 체적력이 있을 것이다.

 

먼저 압력 힘에 의한 유체에서의 일률을 계산해보자. 유체의 검사 체적을 둘러싸는 검사 표면 중 미소 면적 $\mathbf{dS}$에 대해 살펴보면, 이 미소 면적에 작용하는 압력 힘은 압력과 면적을 곱한 $-p\mathbf{dS}$이다. 이때 (-) 부호가 생긴 이유에 대해 설명하자면, 압력과 힘의 방향이 다르기 때문이라고 생각하면 쉽다.

 

보통 검사 체적에 가해지는 압력의 경우, 검사 체적 안으로 향하는 방향의 압력을 (+)로 정의하고, 검사 체적 내의 유체에 가해지는 힘의 경우 검사 체적 바깥으로 향하는 방향의 압력을 (+)로 정의한다. 따라서 압력이 (+)방향, 즉 검사체적 안으로 향하는 방향일 경우, 힘의 부호는 (-)가 되기 때문에 위 식에 (-) 부호가 생기는 것이다.

 

따라서 검사 체적을 둘러싼 검사 표면에 대해 이를 적분하면 다음과 같은 결과가 나온다.

$$\text{압력힘에 의한 유체에서의 일률}=-\iint_S (p\mathbf{dS})\cdot \mathbf{V}$$

 

단위 질량당 유체에 가해지는 체적력을 $\mathbf{f}$라고 한다면, 전체 검사 체적에 대한 체적력의 합은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\text{체적력에 의한 유체에서의 일률}=\iiint_V (\rho \mathbf{f} dV)\cdot \mathbf{V}$$

 

만약, 점성에 의해 유체에 가해지는 전단응력이 존재한다면 이 또한 고려해주어야 한다. 여기서는 단순히 점성에 의해 유체에 가해지는 일률을 $\dot W_{viscous}$로 나타낼 것이다.

 

따라서 $B_2$는 다음 식과 같이 나타낼 수 있다.

$$B_2=-\iint_S (p\mathbf{dS})\cdot \mathbf{V}+\iiint_V (\rho \mathbf{f} dV)\cdot \mathbf{V}+\dot W_{viscous}$$

 

 

$B_3$를 표현하기 위해, 검사 체적 내의 에너지에 대해 살펴보자.

 

먼저, 유체의 온도에 의해 생기는 내부 에너지 $e$가 존재한다. 이는 원자 또는 분자가 불규칙적인 운동을 하며 생기는 에너지로, 유체가 정지해 있을 때에도 존재하는 에너지이다.

 

두 번째로, 유체가 움직일 때 생기는 운동 에너지가 존재한다. 미소 체적의 유체의 속도가 $\mathbf{V}$라고 할 때 단위 질량당 운동에너지는 $V^2/2$로 나타낼 수 있다.

 

따라서 움직이는 유체에서 단위 질량당 에너지는 이 둘의 합인 $e+V^2/2$로 표현할 수 있다.

 

$B_3$을 계산하기 위해 검사 체적에서 나가는 총에너지를 계산하고자 한다. 단위 질량당 에너지는 위에서 구했으므로, 검사 체적에서 나가는 유동의 질량을 구해 곱하면 될 것이다. 

 

이는 검사 체적을 둘러싸는 검사 표면에 대해 계산하면 쉬우므로, 검사 표면 상의 미소 면적 $dS$를 통해 검사 체적 바깥으로 나가는 유동을 살펴보자. 

 

연속 방정식에서 봤듯이, 검사 체적 바깥으로 나가는 유동의 질량은 $\rho \mathbf{V}\cdot \mathbf{dS}$이다. 따라서 미소 면적 $dS$를 통해 나가는 에너지는 이 둘을 곱한 $(\rho \mathbf{V}\cdot \mathbf{dS})(e+{V^2 \over 2})$임을 알 수 있다.

 

따라서 단위 시간당 검사 체적을 나가는 유동의 총에너지는 전체 검사 표면에 대해 위 값을 적분하면 되므로,

$$\iint_S (\rho\mathbf{V}\cdot \mathbf{dS})(e+{V^2 \over 2})$$

 

만약 유동이 비정상 상태라면, 즉 시간에 따라 밀도, 내부 에너지, 속도 등이 변하는 상태라면, 검사 체적 내의 에너지가 시간에 따라 변화한다. 이를 식으로 표현하면 다음과 같다.

$${\partial \over \partial t}\iiint_V \rho (e+{V^2 \over 2})dV$$

 

따라서 $B_3$는 다음과 같다.

$$B_3={\partial \over \partial t}\iiint_V \rho (e+{V^2 \over 2})dV+\iint_S (\rho\mathbf{V}\cdot \mathbf{dS})(e+{V^2 \over 2})$$

 

 

이제, 앞서 열역학 제1법칙을 통해 유도한 $B_1+B_2=B_3$식에 위에서 구한 값들을 대입하자.

$$\iiint_V \dot q \rho dV+\dot Q_{viscous}-\iint_S (p\mathbf{dS})\cdot \mathbf{V}+\iiint_V (\rho \mathbf{f} dV)\cdot \mathbf{V}+\dot W_{viscous}\\={\partial \over \partial t}\iiint_V \rho (e+{V^2 \over 2})dV+\iint_S (\rho\mathbf{V}\cdot \mathbf{dS})(e+{V^2 \over 2})$$

 

위 식이 적분 형태의 에너지 방정식으로, 이번 글에서 최종적으로 얻고자 했던 식이다.

이는 유체의 유동에 대해 열역학 제1법칙(에너지 보존 법칙)을 적용한 결과이다.

 

위 식은 너무 복잡하므로, 단순화하기 위해 여러 가정을 추가해 볼 것이다.

만약 유동이 정상상태이고(${\partial \over \partial t}=0$), 비점성 유동이며(viscous 항이 모두 0), 단열 유동이고($\dot q=0$), 체적력을 무시할 수 있다면($\mathbf{f}=0$) 아래의 식처럼 단순화될 수 있다.

$$\iint_S (\rho\mathbf{V}\cdot \mathbf{dS})(e+{V^2 \over 2})=-\iint_S (p\mathbf{dS})\cdot \mathbf{V}$$

 

위 식을 정리하고 divergence theorem을 적용하면, 아래와 같은 미분형 에너지 방정식을 얻을 수 있다.

$$\iint_S \rho(e+{V^2 \over 2})(\mathbf{V}\cdot \mathbf{dS})=-\iint_S p(\mathbf{V}\cdot \mathbf{dS})\\ \nabla\cdot \left[ \rho(e+{V^2 \over 2}) \mathbf{V} \right]=-\nabla\cdot (p\mathbf{V})$$