항공역학 [5] 지배 방정식 - 운동량 방정식(Momentum Equation)

이번 글에서는 속도와 부피를 모두 V로 표현하였다.
이를 구분하기 위해 스칼라인 부피는 $V$, 벡터인 속도는 $\mathbf{V}$로 표현했다.
앞으로도 굵은 글씨체는 벡터를 의미할 것이므로 참고 바란다.

 

가장 먼저 뉴턴의 제 2법칙을 살펴보자.

다들 알다시피 다음 식이 뉴턴의 제 2법칙을 나타낸다.

$$\mathbf{F}=m\mathbf{a}$$

그런데 이 식을 조금 더 일반적인 경우에 대해 작성하면 아래와 같이 쓸 수 있다.

$$\mathbf{F}={d\over dt}(m\mathbf{V})$$

$m\mathbf{V}$는 질량이 $m$이고 속도가 $\mathbf{V}$인 물체의 운동량(momentum)을 나타내므로 아래의 물리적 원리를 이끌어 낼 수 있다.

 

물리적 원리 : 힘 = 시간에 대한 운동량의 변화율

 

 

운동량 방정식

 

먼저 좌변의 힘에 대해 생각해보면 힘에는 크게 두 가지가 있다.

첫 번째는 물체의 모든 부피 요소에 대해 작용하는 힘인 체적력(body force)이고,

두 번째는 물체의 표면에 작용하는 압력과 전단응력인 표면력(surface force)이다.

체적력의 예시로 중력, 전자기력 등이 존재하고, 표면력의 예시로는 마찰력 등이 있다.

 

먼저 체적력에 대해 생각해보자.

$\mathbf{f}$를 유체의 단위 질량 당 작용하는 체적력이라고 하면 요소 체적 $dV$에 작용하는 체적력은 아래와 같다.

$$\rho\mathbf{f} dV$$

따라서 검사 체적 $V$에 작용하는 총 체적력은 적분을 통해 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$$\text{체적력}=\iiint_V \rho\mathbf{f}dV$$

 

다음으로 표면력 중 압력에 의한 힘에 대해 생각해보자.

요소 면적 $\mathbf{dS}$에 작용하는 표면력은 아래와 같다.

$$-p\mathbf{dS}$$

부호에 대해 생각해 볼 필요가 있는데, 먼저 $\mathbf{dS}$의 방향은 검사 체적에서 나가는 방향을 향한다.

압력힘을 음수로 표현한 것은, 검사체적 안쪽으로 들어오는 방향의 압력힘을 가정한 것이다.

어쨌든 총 압력힘을 구하기 위해 검사 표면 $S$에 대해 적분하면 아래와 같은 결과가 나온다.

$$\text{압력힘}=-\iint_S p\mathbf{dS}$$

 

표면력에는 유체의 점성에 의한 점성력도 존재하는데, 점성력에 대해서는 추후에 자세히 다루도록 하고 이번 글에서는 단순하게 $\mathbf{F}_{viscous}$라고만 표시하겠다.

 

따라서 유체에 가해지는 총 힘은 체적력과 표면력을 모두 합한 형태이므로, 아래와 같이 나타내어진다.

$$\mathbf{F}=\iiint_V \rho\mathbf{f}dV-\iint_S p\mathbf{dS}+\mathbf{F}_{viscous}$$

 

 

힘에 대해서는 모두 생각했으니 이제 우변의 운동량에 대해 생각해 볼 차례다.

시간에 대한 운동량의 변화량은 두가지로 나누어 생각해볼 수 있다.

첫 번째로 표면 $S$를 통하여 검사 체적 $V$ 밖으로 나가는 순 유동 운동량이 있고,

두 번째로 검사 체적 $V$내에서 비정상 요동에 의한 시간에 대한 유동의 변화율이 있다.

 

먼저 표면을 통하여 나가는 순 유동 운동량을 계산해보자.

요소 면적 $dS$를 지나는 유동의 질량은 $\rho \mathbf{V} \cdot \mathbf{dS}$로 나타낼 수 있다. 

따라서 요소 면적 $dS$를 지나는 유동의 운동량은 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$$(\rho \mathbf{V}\cdot \mathbf{dS} )\mathbf{V}$$

이를 전체 검사면에 대해 적분하면 검사 체적 밖으로 나가는 순 유동의 운동량을 아래처럼 구할 수 있다.

$$\iint_S (\rho \mathbf{V}\cdot \mathbf{dS})\mathbf{V}$$

이때 양의 방향은 검사 체적 밖을 향하는 방향으로, 운동량 유출이 운동량 유입보다 많은 상태를 말한다.

 

 

다음으로, 비정상(unsteady) 유동에 의한 운동량 변화를 고려해보자.

요소 체적 $dV$내 유체의 운동량은 $(\rho dV)\mathbf{V}$로 나타낼 수 있다.

따라서 검사 체적 $V$내 유체의 총 운동량은 $\iiint_V \rho \mathbf{V}dV$이며, 시간에 대한 변화율은 아래와 같다.

$${\partial \over \partial t}\iiint_V \rho \mathbf{V} dV$$

 

 

따라서 시간에 따라 변하는 유체의 운동량을 전부 더함으로써 아래의 식을 유도할 수 있다.

$${d\over dt}(m\mathbf{V}) = \iint_S (\rho \mathbf{V}\cdot \mathbf{dS})\mathbf{V} + {\partial \over \partial t}\iiint_V \rho \mathbf{V} dV$$

 

 

 

힘에 관한 모든 항과 운동량에 관한 모든 항을 고려했으므로 다시 처음으로 돌아가보자.

뉴턴 제 2법칙에 의해 힘은 시간에 대한 운동량의 변화량과 같다고 했으므로,

$${d \over dt}(m\mathbf{V})=\mathbf{F}$$

$${\partial \over \partial t}\iiint_V \rho \mathbf{V} dV+\iint_S(\rho \mathbf{V}\cdot \mathbf{dS})\mathbf{V} =\iiint_V \rho\mathbf{f}dV-\iint_S p\mathbf{dS}+\mathbf{F}_{viscous}$$

 

위 식은 유체의 운동량 방정식을 적분 형태로 표현한 것이며, 벡터 방정식임을 유의하자.

 

이 중 속도의 x축 성분만 취하고, divergence theorem과 gradient theorem을 적절히 사용하여 적분 기호 안쪽의 값을 취하면 아래의 식이 성립함을 알 수 있다.

$${\partial (\rho u)\over\partial t}+\nabla \cdot (\rho u \mathbf{V})=-{\partial p \over \partial x}+\rho f_x+F_{x,viscous}$$