항공역학 [3] 기본 원리 - 압력 중심, 유동의 유사성, 동적상사

압력 중심 (Center of Pressure)

날개에 가해지는 힘과 모멘트를 그림으로 표시하면 다음 그림과 같이 할 수 있다.

 

날개의 앞전을 기준으로 힘과 모멘트를 표시하면 위의 그림과 같이 나타낼 수 있다. 

그런데 위 그림의 상황을 조금 더 간단히 나타낼 수 있는 방법이 있다. 

힘과 모멘트의 기준점을 조금 바꾸면 된다!

말로 설명하는 것보다 그림으로 설명하는 것이 이해가 쉬울 것이다.

 

앞전에서 $x_{cp}$만큼 떨어진 지점을 기준으로 잡은 상황이다. 

위의 그림과는 다르게, $M_{LE}$ 항이 사라진 것을 알 수 있을 것이다.

두 그림에서 모두 앞전을 기준으로 회전 모멘트를 계산해보자. 

 

첫 번째 그림의 모멘트는 당연히 $M_{LE}$이고, 두 번째 그림의 모멘트는 $-Nx_{cp}$이다.

두 상황 모두 같은 물리적 상황을 표현하고 있는 것이므로, 두 값이 같아야 한다.

따라서 아래의 식이 성립한다.

$$M_{LE}=-x_{cp}N \\ x_{cp}=-{M_{LE} \over N}$$

 

수직력 $N$과 양력 $L$의 관계는 ($L=N\cos\alpha$)이므로 받음각 $\alpha$가 매우 작다면 $L$과 $N$이 거의 비슷하므로 아래의 식처럼 근사할 수 있다.

$$x_{cp}=-{M_{LE} \over N}=-{M_{LE} \over L}$$

 

이렇게 모멘트가 0이 되는 지점을 날개의 압력 중심(center of pressure)라고 정의한다.

 

굉장히 편리하고 직관적인 방법이지만, 수시로 받음각(AOA)가 변하는 상황에서는 압력 중심이 받음각에 따라 변하게 되므로 크게 유용한 방법은 아니다.

 

공력 중심(Aerodynamic Center)

압력 중심(Center of Pressure)과 비슷한 개념으로, 공력 중심이라는 개념도 있다.

압력 중심은 날개의 모멘트가 0이 되는 지점을 의미하지만, 받음각이 변하며 그 위치가 변하기 때문에 유용하지 못할 때가 많다.

이를 보완하기 위해 공력 중심이라는 개념을 사용하는데, 공력 중심의 정의는 받음각이 변해도 항상 같은 모멘트 값을 가지는 지점을 의미한다.

즉, 공력중심에서는 항상 모멘트가 일정하며, 압력 중심과 다르게 모멘트 값이 0이 아닐 수 있다.

 

 

유동의 유사성

 

날개의 성능을 측정하기 위해서는 풍동 실험이 필수적이다.

컴퓨터 시뮬레이션으로도 어느 정도는 날개의 성능을 예측할 수 있지만, 직접 해보는 것이 가장 정확한 실험일 것이다.

실제 날개 크기로 실험을 하면 가장 좋겠지만, 그만한 공간을 구하기도 힘들뿐더러 날개의 형상을 변화시키며 실험하기 위해서는 천문학적인 자금이 들어갈 것이 당연하다. 

그렇다면 날개를 작게 제작하여 풍동 실험을 통해 실제 날개의 성능을 예측해야 하는데, 이때 모형 날개의 양력, 항력 등의 여러 계수들이 실제 날개의 계수들과 같을까?

당연히 일반적인 경우에는 같지 않겠지만 놀랍게도 같도록 만드는 방법이 존재한다!

 

 

아래의 두 가지의 조건이 충족된다면, 실제 날개와 모형 날개의 유동 내 양력, 항력 계수와 모멘트가 같아진다.

 

1. 각 유동 내에서 물체와 유동 사이의 경계가 기하학적으로 유사하다.
2. 각 유동에 대해 상사 매개변수들이 동일하다. 

 

위의 조건들을 만족한다면, 그 유동들을 동적으로 유사(동적상사, dynamically similar)하다고 표현하며 유동 내에서 물체가 받는 양력 계수와 항력 계수 등의 무차원 힘 계수들이 같아진다.

이때 2번에서 언급한 상사 매개변수에는 마하수와 레이놀즈 수가 있다.

마하수와 레이놀즈수는 아래의 식을 통해 구할 수 있다.

$$\text{마하수 }M={\text{유동의 속도 }V\over \text{음속 }a}$$

$$\text{레이놀즈수 }Re={\text{자유흐름 밀도 }\rho_\infty \times\text{자유흐름 속도 }V_\infty \times\text{시위 길이 }c \over \text{자유흐름 점성 계수 }\mu_\infty}$$

 

위의 조건에서 왜 마하수와 레이놀즈수만 고려하는지 궁금하다면, Buckingham의 파이 정리(Buckingham Pi Theorem)을 찾아보면 된다.

간단히 설명하자면, 어떠한 변수들의 단위를 전부 곱했을 때 무차원이 되는 조합들이 있다.

예를 들어 레이놀즈수를 구성하는 각 변수의 단위를 곱해보면 단위가 없어지는, 즉 무차원이 되는 것을 확인할 수 있다.

에어포일에서 발생하는 공력을 계산하기 위해 원래는 밀도, 속도, 시위 길이, 점성 계수, 음속 등 5가지의 변수를 고려해야 하지만, 이처럼 무차원인 변수들을 활용하면 레이놀즈수와 마하수 두 가지의 변수만으로 공력을 계산할 수 있다. 

Buckingham의 파이 정리는 교재 1.7장 또는 위키백과에 잘 설명되어있다.