전자기학[8] 정전기장 - 정전에너지

앞의 글에서 전위를 정의할 때, 전기장 안에서 한 점의 전위는 무한대의 지점으로부터 그 점까지 1C짜리 단위 양전하를 이동하는데 필요한 에너지라고 정의했다. 그렇다면 그 때 필요한 에너지 W는 $W=QV$를 만족한다. 이 때 자유공간에서 전하 $Q_1$에 의해 생긴 전기장을 거스르는 방향으로 전하 $Q_2$를 무한대 지점부터 $R_12$ 지점까지 이동하는데 필요한 일은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$W_2=Q_2V_2=Q_2{{Q_1}\over{4\pi\epsilon_0R_{12}}}$$

 

W2는 Q_2의 이동경로와 무관하므로, 위 식을 다시 쓰면 다음과 같다.

$$W_2=Q_1 {{Q_2}\over{4\pi\epsilon_0R_{12}}}$$

따라서 $W_2={1\over 2}(Q_1V_1+Q_2V_2)$를 만족하며 이는 이 정전에너지는 위치에너지처럼 두 전하에 나뉘어 저장되어 있다는 것을 의미한다!

 

한 단계 더 나아가 또 다른 임의의 전하 $Q_3$를 이 시스템에 근접시킨다고 생각해보자.

전하 $Q_3$를 무한 지점에서 $Q_1$과의 거리가 $R_{13}$, $Q_2$와의 거리가 $R_{23}$인 지점으로 옮기는데에는 추가적인 일이 필요하며 이 일의 크기가 $\Delta W$라고 하자. 그에 대한 식은 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$$\Delta W=Q_3V_3=Q_3({Q_1 \over 4\pi\epsilon_0R_{13}}+{Q_2 \over 4\pi\epsilon_0R_{23}})$$

 

$Q_1,Q_2,Q_3$에 저장된 에너지의 총합$W_3$는 $W_2+\Delta W$이며 그 크기는 다음과 같다.

$$W_3=W_2+\Delta W={1 \over 4\pi\epsilon_0}({Q_1Q_2 \over R_{12}}+{Q_2Q_3 \over R_{23}}+{Q_3Q_1 \over R_{31}})$$

이는 다시 다음과 같이 나타낼 수 있으며,

$$W_3={1\over2}(Q_1V_1+Q_2V_2+Q_3V_3)$$

다음과 같이 일반화할 수 있다.

$$W_e={1\over2}\Sigma_{k=1}^N Q_kV_k \quad (J)$$

 

위의 식은 입자 하나 하나를 따로 계산하는 이산전하들에 대한 식이다. 전하밀도$\rho$가 연속적인 분포를 갖고 있다면 위의 $W_e$는 다음과 같이 수정될 수 있다.

$$W_e={1\over2}\int_{V'} \rho Vdv$$

 

 

 

전기장 세기와 전속으로 표현되는 정전에너지

 

$\rho=\nabla \cdot D$임을 알고 있으므로, 위 식을 이를 이용해 고쳐 쓰면 다음과 같다.

$$W_e={1\over2}\int_{V'} (\nabla \cdot D)Vdv$$ 

 

벡터 등가식을 사용해$\nabla \cdot (VD)$를 계산하면 다음과 같다.(V는 스칼라, D는 벡터)

$$\nabla \cdot (VD)=V\nabla \cdot D+D\cdot \nabla V$$

이를 적용하면 아래와 같은 식으로 정리할 수 있다.

$$W_e={1\over2}\int_{V'} (\nabla \cdot D)Vdv\\={1\over2}\int_{V'} \nabla \cdot (VD)dv - {1\over2}\int_{V'} D \cdot \nabla Vdv\\={1\over2}\oint_{S'} VD \cdot a_n ds + {1\over2}\int_{V'} D\cdot E dv$$

이 식에서 첫 항은 $VD$에 대해 발산정리를 적용하여 폐곡면 부피에 관한 적분을 폐곡면 면적에 대한 발산으로 나타내어 체적 적분을 면적분으로 치환했다. 두 번째 항은 $-\nabla V=E$의 관계를 적용했다.

 

위 식의 임의 폐곡면을 아주 큰 반지름 R을 가진 구라고 설정한다. 이 때 R이 커질 때, V와 D는 각각 $1/R, 1/R^2$의 비율로 감쇠하지만 경계면 S'의 크기는 $R^2$의 비율로 증가한다. 따라서 R이 무한대로 발산한다면 $W_e$의 식 첫 항은 0으로 수렴하게 된다. 따라서 다음과 같이 간략하게 나타낼 수 있다.

$$W_e={1\over2}\int_{V'} D\cdot E dv$$

 

선형 단순 매질에서 $D=\epsilon E$임을 이용해서 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

$$W_e={1\over2}\int_{V'} \epsilon E^2 dv\\W_e={1\over2}\int_{V'} {D^2\over\epsilon} dv$$

 

정전에너지 밀도(electrostatic energy density)$w_e$를 정의할 수도 있는데, 정전에너지 밀도를 부피에 대해 적분하면 총 정전에너지와 같다. 따라서 다음 식이 성립함을 쉽게 알 수 있다.

$$w_e={1\over2}D\cdot E \quad (J/m^3)\\w_e={1\over2}\epsilon E^2 \quad (J/m^3)\\w_e={D^2\over 2\epsilon}\quad (J/m^3)$$