전자기학[7] 정전기장 - 정전용량, 커패시터(Capacitor)

자유공간에서 독립된 도체의 전위는 도체에 저장되어있는 총 전하량에 비례한다. 또, 자유공간에서의 전기장은 앞선 글에서 알 수 있듯이 도체의 전하량과 관계가 있다. 따라서 자유공간과 도체의 경계 조건에 대해 식을 다시 바꿔 $E$와 $\rho_s$의 관계를 살펴보면 다음과 같은 결과가 나온다.

$$\int_s D\cdot ds=Q\rightarrow \epsilon_0 E=\rho_s a_n \cdot S\rightarrow E=a_n{\rho_s\over \epsilon_0}$$

 

$Q$와 $V$의 관계를 살펴보면, $E=-\nabla V$이므로 $V$가 k배 증가할 때 $E$도 k배 증가하며 $E$가 k배 증가할 때 $\rho_s$도 k배 증가하므로 $Q$ k배 증가한다. 따라서 $V$가 k배 증가할 때 $Q$도 k배 증가하므로 $Q\over K$는 일정하다는 것을 유추할 수 있다. 즉, 이를 다시 정리하면 다음과 같다.

$$Q=CV$$

 

이 때 비례상수 $C$는 도체의 정전용량(Capacitance)라고 하며, 단위는 C/V, F(Farad)을 사용한다. 이 Farad은 과학자 마이클 패러데이의 이름에서 따왔다.

 

 

회로에서 Capacitor를 직렬 또는 병렬로 연결할 수 있다. 각각의 경우에 합성 정전용량 값이 어떻게 변하는지 확인해보자.

1) 직렬연결

직렬연결된 Capacitor들에 전위차 V가 인가되었다고 할 때 가장 바깥쪽에 있는 Capacitor에 각각 +Q와 -Q의 전하가 축적된다. 곧 내부에 있는 Capacitor에 모두 +Q와 -Q의 전하가 번갈아 유도되며, 이는 회로 전체에 가해지는 전압과 무관하다. 총 n개의 Capacitor 가해지는 전압은 각각 $Q/C_1, Q/C_2, ..., Q/C_n$이며, 각 전압의 총합은 전위차 V와 같다. 아래의 식으로 나타내면 직렬연결된 Capacitor들의 정전용량을 구할 수 있다.

$$V=Q/C_{series}=Q/C_1+Q/C_2+...+Q/C_n \rightarrow {1\over C_{series}}={1\over C_1}+{1\over C_2}+...+{1\over C_n}$$

 

2) 병렬연결

병렬연결된 Capacitor들에 전위차 V가 인가되었다고 할 때, 병렬연결이므로 모든 Capacitor에 각각 V의 전압이 걸리게 된다. 합성 정전용량에 저장된 총 전하량은 각 Capacitor에 저장된 전하량의 총합이므로 아래의 식으로 나타내면 병렬연결된 Capacitor들의 정전용량을 구할 수 있다.

$$Q=C_{parallel}V=Q_1+Q_2+...Q_n=C_1V+C_2V+...C_nV \rightarrow C_{parallel}=C_1+C_2+...C_n$$

 

 

다중도체 시스템, 즉 여러개의 도체가 모여 하나의 시스템을 이룰 경우에도 정전용량을 구할 수 있다. 각 도체는 임의의 위치에 있고, 하나의 도체가 접지되어 있다고 가정한다. 임의의 도체에 존재하는 전하량 $Q_k$는 나머지 모든 도체의 전위 $V_1, V_2, ... , V_n$에 모두 영향을 준다. 이처럼 n개의 도체에서의 전압과 전하량간의 관계를 n개의 식으로 나타내면 다음과 같다.

$$V_1=p_{11}Q_1+p_{12}Q_2+...p_{1n}Q_n$$

$$V_2=p_{21}Q_1+p_{22}Q_2+...p_{2n}Q_n$$

$$\vdots$$

$$V_n=p_{n1}Q_1+p_{n2}Q_2+...p_{nn}Q_n$$

 

위 n개의 선형 방정식을 행렬의 꼴로 고치면 아래의 식과 같다.

$$\begin{bmatrix} V_1\\ V_2\\ \vdots\\ V_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1n} \\ p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2n}\\ \vdots \\ p_{n1} & p_{n2} & \cdots & p_{nn}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} Q_1 \\ Q_2 \\ \vdots \\ Q_n \end{bmatrix}$$

 

간단하게 각각의 행렬을 기호로 나타내어 아래처럼 나타낼 수 있다.

$$V=PQ$$

 

행렬 곱셈 법칙에서, 각 변 왼쪽에 P의 역행렬을 곱한다면 다음 식이 구해진다.

$$Q=P^{-1}V=CV \quad (C=P^{-1})$$

이 때 P행렬의 각 원소는 전위계수라고 하며, C행렬의 각 원소는 유도계수라고 한다.