항공역학(Aerodynamic) [1] 기본원리 - 개요, 공기역학적 변수

* Fundamentals of Aerodynamics(5th ed.), John D. Anderson JR.

* 위 책을 개인적으로 공부하며 리뷰, 정리하는 연재가 될 것입니다.

* 이상하거나 궁금한 점 알려주시면 감사하겠습니다.

 

 

유체(fluid)란?

유체(fluid)는 액체(liquid) 또는 기체(gas)를 의미한다.

고체와 유체와의 차이점은 당연하게도 모양이 변하냐, 변하지 않냐일 것이다. 

고체에 외부 힘이 표면과 접하는 방향으로 가해질 때, 고체는 유한한 크기의 변형을 한다.

하지만 유체의 경우 계속하여 변형을 일으키고, 일정한 모양을 이루지 않는다. 

고체에서는 분자 간 힘이 아주 강력해 서로 붙어 떨어지지 않는 상태를 유지한다. 

그런데 액체와 기체는 분자 간 거리가 더 멀고, 분자 간 힘이 고체보다 상대적으로 약해 유동성(fluidity)을 띄기 충분한 정도이다.

따라서 고체와 다른 물리적, 역학적 특성을 보이므로 '유체'라고 따로 지칭하곤 한다.

리뷰하는 이 책과 앞으로의 게시물에서 다루는 내용은 유체역학 중 공기의 유동을 공부하는 공기역학(aerodynamic)을 주로 다룰 것이다.

 

 

공기역학적 변수

 

공기역학을 공부할 때 필수적으로 알아야 하는 몇가지의 변수가 있다.

'압력', '밀도', '온도', '유동 속도', '전단 응력'이 그것이다.

아래에서 하나씩 차례차례 자세히 정의해 볼 것이다.

 

 

압력

 

압력은 단순히 '단위면적 당 힘의 크기'라고 알고 있는 경우가 대부분일 것이다.

물론 맞는 말이지만, 저 정의에서 '단위 면적'은 무엇을 지칭할까? 

사실 압력은 면적이 아니라 유체 내부, 혹은 고체 표면 상의 한 점에 대해 정의된다. 

 

어떤 유체 내의 한 지점 $B$가 있다고 가정하고, $dA$와 $dF$를 아래와 같이 정의해보자.

$$dA=\text{B 위에 존재하는 임의 미소 면적}\\dF=\text{압력에 의해 dA의 한 면에 작용하는 힘}$$

그렇다면 유체 내의 임의 지점 $B$에서의 압력은 아래와 같이 정의된다. 

$$p=\lim_{dA\to 0} {dF\over dA}$$

 

 

밀도

 

압력과 비슷하게, 밀도의 정의'단위 부피 당 질량' 중 '단위 부피'가 의미하는 것은 정해져 있지 않다.

밀도 역시 임의의 점에 대해 정의되는 성질인데, 압력과 비슷하게 임의 지점 $B$를 설정하여 정의해보자.

 

유체 내 임의 지점 $B$를 가정하고, $dv$와 $dm$을 아래와 같이 정의해 볼 것이다.

$$dv=\text{B를 포함하는 아주 작은 체적(부피, volume)}\\dm=\text{dv 만큼의 유체의 질량}$$

그렇다면 유체 내의 임의 지점 $B$에서의 밀도는 다음과 같이 정의된다.

$$\rho=\lim_{dv \to 0} {dm \over dv}$$

 

 

온도

 

기체의 온도는 기체 분자들의 평균 운동에너지에 비례한다.

평균 분자 운동에너지를 $KE$라고 하고, 기체의 온도를 $T$라고 하면, 다음의 식이 성립한다.

$$KE={3\over 2}kT$$

이때 $k$는 볼츠만(Boltzmann) 상수이다.

온도 역시 유체 내의 한 점에 대해 정의되는 특성이다.

 

 

속도

 

유동하는 기체 내의 한 지점 $B$를 특정 위치에 고정시켜 놓고 생각해보자. 

무한히 작은 지점 $B$를 지정했으니, 이 지점을 통과하는 유체의 속도도 정의할 수 있다. 

유동 속도 $\mathbf{V}$는 무한히 작은 유체 요소(element)의 속도이므로, 크기와 방향을 가지고 있는 벡터이다. 

따라서 위에서 설명한 압력, 온도 등과 달리 굵은 글씨로 표현했다. 

 

 

전단 응력(shear stress)

 

유동 내에서도 물론 마찰은 존재한다.

전단 응력이라는 것은 단위 면적 당 작용하는 마찰력으로써, 물체의 표면에 접하는 방향으로 작용한다.

위 그림처럼 아주 작은 거리 $dy$만큼 떨어져 있는 두 지점 1과 2를 생각해보자. 

1번 지점에서의 유동 속도는 $V$이고, 2번 지점에서의 유동 속도는 그보다 조금 더 빠른 $V+dV$이다. 

1번 지점과 2번 지점을 각각 통과하는 유선 b와 a는 서로 맞닿아있어 서로 마찰을 일으킨다. 

이때 마찰로 인해 힘 $dF$가 1번 지점에 전단응력으로 작용하고 있다고 할 수 있다. 

전단 응력(shear stress) $\tau$는 단위 면적 당 가해지는 접선 방향 힘이므로 아래와 같이 표현할 수 있다.

$$\tau=\lim_{dA \to 0} {dF \over dA}$$

 

우리가 관심을 갖고 있는 공기역학에서 기체나 액체의 경우 전단 응력 값은 그 지점의 위치로도 쉽게 구할 수 있다.

유선상의 임의 지점에서의 전단응력 값은 그 유선을 수직 하게 지나가는 방향으로 속도 구배(velocity gradient, 속도의 공간에 대한 기울기)에 비례하기 때문이다.

다시 쉽게 설명하자면, 1번 지점과 2번 지점에서 속도 차이는 $dV$만큼 나고, y축 좌표 차이는 $dy$만큼 난다. 

이때 속도 기울기(구배라는 표현은 너무 생소할 수 있으므로 기울기라고 칭하겠다. gradient라고 알고 있는 것이 가장 좋다.)는 ($dV\over dy$)가 된다.

따라서 전단응력은 비례 상수 $mu$를 사용해 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$$\tau=\mu {dV \over dy}$$

이때 $\mu$는 점성 계수(viscosity coefficient)라고 부른다.