전자기학[10] 정상상태 전류 - 옴의 법칙, 전기 저항

옴의 법칙

전도성 전류(Conduction current)의 경우 drift 이동(입자가 직접 이동하는 것을 의미!)을 하는 입자의 종류가 한 가지 이상일 수 있다. 즉, 전자만 움직이거나 정공(hole)만 움직이는 것이 아닌, 여러 종류의 입자가 동시에 움직일 수 있다는 의미이다. 따라서 앞선 글에서 나온 전류밀도에 관한 $J=Nqu$식은 다음과 같이 일반화할 수 있다.

$$J=\sum_i N_i q_i u_i \quad (A/m^2)$$

 

대부분의 도체에서 입자의 드리프트 속도는 도체에 인가된 전기장의 세기에 비례한다. 따라서 도체에서 평균 드리프트 속도를 다음 식과 같이 나타낼 수 있다.

$$u=-\mu_e E \quad (m/s)$$

위 식에서 $\mu_e$는 전자의 이동도(mobility)를 나타내며 이는 전자가 도체 속에서 잘 움직이는지를 의미한다. 전자 이동도는 물질의 특성이며, 물질의 종류에 따라 다르다. 이동도의 단위는 $(m^2/V\cdot s)$를 사용한다. 

 

전자의 전하밀도는 $\rho_e=Ne \quad (C/m^3)$와 같이 정의할 수 있는데, 단위부피당 전자 개수 N과 전자의 전하량 e를 곱한 값이므로 받아들이기 어렵지 않을 것이다.

앞선 $J=Nqu$와 $u=-\mu_e E$식과 전자의 전하밀도 식 $\rho_e=Ne$을 종합하여 나타내면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$J=Nqu\\=-Nq \mu_e E\\=-\rho_e \mu_e E\\=\sigma E \quad (A/m^2)$$

위 식에서 $\sigma=-\rho_e \mu_e$는 전도도(conductivity)라고 하며, 매질의 특성이다. 

 

반도체에서 전도도는 정공과 전자 모두의 영향을 받으므로 정공과 전자 각각의 이동도와 농도에 모두 영향을 받으며, 식으로 나타내면 다음과 같다.(e=electron 전자를 의미하며, h=hole 정공을 의미한다.)

$$\sigma=-\rho_e\mu_e+\rho_h\mu_h$$

#참고: $\rho_e$는 전자의 전하밀도이므로 항상 음수의 값을 가지며, $\rho_h$는 반대로 양수의 값을 가진다.

#참고: 일반적으로 전자의 이동도와 정공의 이동도는 같지 않다. 대체로 전자의 이동도가 정공의 이동도보다 큰 값을 가진다. (전자가 더 작고 가벼워서...?! 라고 알고있는데 맞는지는,..,.,)

 

위와 같이 $J=\sigma E$가 성립하는,  즉 전류밀도와 전기장이 선형적으로 비례하는 매질을 저항성 매질(ohmic media)라고 한다. 이 때 전도도 $\sigma$의 역수를 저항률 또는 비저항(resistivity)라고 하며, 단위는 $(\Omega \cdot m)$을 사용한다. 

 

저항(전기 저항)

그렇다면 위에서 구한 식과 변수간의 관계를 이용하여 도체의 저항을 정의해보자.

 

전도도 $\sigma$, 길이 $l$, 단면적 $S$를 가진 임의의 도체가 있다고 가정하자.

도체 내에서 전류밀도는 $J=\sigma E$이며, 이 때 전류밀도와 전기장의 방향은 전류 흐름과 같은 방향이다. 

도체 내의 임의 지점 node1과 node2 사이의 전위차가 $V_{12}$일 때, 다음과 같은 식을 쓸 수 있다.

$$V_{12}=El\\E={V_{12} \over l}$$

따라서 도체에 흐르는 총전류 $I$는 전류밀도를 도체 단면적에 대해 적분한 값이므로 다음과 같다.

$$I=\int_S J\cdot ds=JS\\J={I \over S}$$

 

전류밀도와 전기장에 관한 식을 위의 식과 합쳐 다시 쓰면 다음과 같다.

$$J=\sigma E\\{I\over S}=\sigma{V_{12} \over l}\\V_{12}=({l\over \sigma S})I=RI$$

 

위 식에서 정상상태에서의 도체의 저항(resistance)를 구하는 관계식을 알 수 있으며, 그 값은 다음과 같다.

$$R={1\over \sigma}{l \over S} \quad (\Omega)$$

 

또, 저항을 병렬연결할 때 편의성을 위해 컨덕턴스(conductance) G를 사용하기도 한다. 컨덕턴스의 단위는 $\Omega^-1$ 또는 $S$(지멘스)를 사용하며, 저항 값의 역수로 구할 수 있다.

$$G={1\over R}=\sigma {S\over l} \quad (S)$$

 

저항을 직렬연결 할 때 단순히 저항값을 더하듯, 저항을 병렬연결할 때에는 컨덕턴스값을 단순히 더해주면 된다. 아래와 같이 계산할 수 있다.

$$R_{series}=R_1+R_2\\G_{parallel}=G_1+G_2$$