전자기학[14] 정자기장 - 개요, 정자기장의 기본 가정

이전 글에서는 정전기장에 관하여 설명했다.

정전기장 하에서는 미소전하 $q$가 전기장 $E$에 놓여있을 때 전기력 $F_e$를 받는데, 이 크기는 다음과 같다.

$$F_e=qE \quad (N)$$

 

실험에 의하면, 전기장이 작용하지 않고 자기장만 작용하는 공간에서라도 운동중인 미소전하에는 힘이 작용한다.

이 힘은 자기력(magnetic force)라고 하며, 그의 특징은 다음과 같다.

1. 자기력의 크기는 운동하는 전하의 전하량에 비례한다.

2. 자기력의 방향은 전하가 움직이는 방향(속도 벡터 방향)과 수직이며, 그와 동시에 자기장의 방향과도 수직이다.

3. 자기력의 크기는 속도의 크기에 비례한다.

 

이러한 자기력은 전기장이나 전속밀도로 표현할 수 없는 양으로, 전기력과는 무관한 힘이다.

따라서 새로운 벡터장 성분인 자속밀도$B$(magnetic flux density)를 정의함으로써 자기력을 설명할 수 있다. 

SI단위계에서 자기력은 다음과 같이 표현된다.

$$F_m=qu\times B \quad (N)$$

 

위 식에서 $B$는 $Wb/m^2$, 또는 $T$(테슬라)의 단위를 사용한다.

따라서 전하 q가 받는 총 전자기력(electromagnetic force)은 아래의 식으로 구할 수 있다.

$$F=F_e+F_m=qE+qu\times B=q(E+u\times B) \quad (N)$$

 

위 식을 로렌츠 힘의 방정식이라고 부른다.

 

정자기장의 기본 가정

자유공간 내에서 자속밀도$B$에 대한 발산 및 회전력을 규정하는 정자기장(steady magnetic fields)의 기본가정 두 가지는 다음과 같다.

$$\nabla \cdot B=0\\\nabla \times B=\mu_0 J$$

 

위 식에서 $\mu_0$는 자유공간에서의 투자율(permeability)로써, 매질이 자기장에 대해 얼마나 자화하는지를 나타내는 양이다.

자유공간(진공)의 투자율의 값은 다음과 같다.

$$\mu_0=4\pi \times 10^{-7}\quad (H/m)$$

 

자기장의 첫 번째 가정에 대해 생각해보자. 양변을 임의의 부피 V에 대해 적분한다면 좌변에 발산 정리를 적용해볼 수 있다. 그 결과는 다음과 같다.

$$\iiint_V (\nabla \cdot B) dv=\oint_S B\cdot ds=0$$

참고로, 위 식에서$S$는 임의의 부피(체적)V를 둘러싼 표면적이다.

위 식을 다시 생각해보면, 임의의 부피를 생각했을 때 항상 자속선이 들어오는 양과 나가는 양이 같고, 따라서 자기 흐름의 원천은 존재하지 않는다는 뜻과 같다.

위 식은 자속 보존의 법칙(law of conservation of magnetic flux)를 나타내며, 임의의 체적 밖으로 흘러나가는 자속의 총합은 0이라는 뜻이다. 

 

위에서 알 수 있는 것은 자석에서 극(magnetic pole)은 홀로 존재할 수 없으며, 자석을 아무리 잘라도 N극과 S극이 존재한다는 것을 의미한다. (자기 홀극에 대한 연구도 많이 있지만, 필자의 경우 최신과학은 잘 모른다....)

 

자기장의 두 번째 가정에 대해 생각해보자.

첫 번째 가정에서는 내적 기호를 보고 발산정리를 적용했다면, 이번에는 외적 기호를 보고 스토크스 정리(Stokes' Theorem)를 적용해보고 싶을 것이다!

양변을 임의의 면적 $S$에 대해 적분해보자.

$$\int_S (\nabla \times B)\cdot ds=\mu_0 \int_S J\cdot ds$$

 

위 식의 좌변에 스토크스의 정리를 적용하고, 우변에서 전류밀도를 면적에 대해 적분한 것은 전류와 같다는 것을 이용하면 다음의 사실을 알 수 있다.

$$\oint_C B\cdot dl=\mu_0 I$$

 

위 식에서 $C$는 임의의 면적 $S$를 둘러싸는 폐경로를 의미하며, $I$는 면적 $S$를 통과하는 총전류를 의미한다.

$C$의 방향은 암페어(앙페르)의 오른손 법칙을 따른다.

이 식은 암페어의 주회법칙(Ampere's curcuital law)이며, 임의의 폐경로를 따라 자속밀도를 선적분한 값은 그 폐경로가 둘러싸는 면적을 통과하는 총 전류에 $\mu_0$를 곱한 값과 같다는 것을 의미한다.

 

이번 글에서 가장 중요한 정자기장의 가정 두가지를 다시 정리하면 다음과 같다.

 

정자기장의 가정
미분형	적분형
$\nabla \cdot B=0$	$\oint_S B\cdot ds=0$
$\nabla \times B=\mu_0 J$	$\oint_C B\cdot dl=\mu_0 I$