전자기학[12] 정상상태 전류 - 연속방정식, 키르히호프의 전류법칙

이번 글을 이해하려면 기본적으로 전하 보존의 법칙을 받아들여야한다. 특별하거나 어려운 것은 아니고, 전하는 새로 생성되거나 소멸될 수 없다는 법칙이다. 질량 보존의 법칙과 비슷한 느낌으로 받아들이면 될 것 같다.

 

임의의 표면 S로 둘러싸인 임의의 체적 V가 존재한다고 가정하자. 이 체적 내부에 순전하 Q가 존재하고있고, 표면을 통해 전류 I가 흘러나간다면, 체적 내부의 순전하는 전류가 흘러나가는 비율로 감소해야한다. 반대로 전류가 흘러들어온다면, 체적 내부의 순전하는 증가할 것이다. 

흘러나가는 전류와 시간당 변하는 체적 내부의 순전하에 관해 식을 쓰면 다음과 같다.

$$I=\oint_S J\cdot ds=-{dQ\over dt}=-{d\over dt}\int_V \rho dv$$

 

발산정리를 이용하면 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

(발산정리는 사실 1편에서 사용했었다! 가우스법칙)

$$\int_V \nabla \cdot Jdv=-\int_V {\partial \rho \over \partial t}dv$$

 

위 식은 임의의 체적 V에서도 성립해야하므로, 적분항 안에 있는 피적분함수가 서로 같아야하므로 아래의 식이 성립해야한다.

$$\nabla \cdot J=-{\partial \rho \over \partial t} \quad (A/m^3)$$

전하 보존의 법칙으로부터 유도된 이 식을 연속방정식(equation of continuity)이라고 한다.

 

우리가 지금 관심을 갖고 있는 정상상태 전류, 즉 시간에 따라 변화하지 않는 상태의 회로에서는 전하밀도가 시간에 따라 변화하지 않아 ${\partial \rho \over \partial t}=0$을 만족한다. 따라서 위 식은 다음과 같이 쓸 수 있게 된다.

$$\nabla \cdot J=0\\ \oint_S J \cdot ds=0$$

이를 다시 쓰면 다음과 같다.

$$\sum_j I_j=0$$

 

위 식은 키르히호프의 전류법칙을 나타내는 식이며, 이 식은 회로의 어느 한 점에서 흘러나가는 전류의 합은 0이라는 것을 의미한다. 이를 잘 이해하고 있으면 추후에 회로이론을 공부할 때 node를 해석하는데에 큰 도움이 될 것이다.

 

 

위에서 유도한 연속방정식 ($\nabla \cdot J=-{\partial \rho \over \partial t} $) 앞의 10번 게시물인 옴의 법칙에서 나온 식 ($J=\sigma E$)를 결합하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\sigma \nabla \cdot E=-{\partial \rho \over \partial t}$$

 

1번 게시물 가우스 법칙편에서도 봤듯이, 단순매질에서는 ($\nabla \cdot E=\rho/\epsilon$)이 성립하므로 위 식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

$${\partial \rho \over \partial t}+{\sigma \over \epsilon}\rho=0$$

위 식을 풀면 다음의 결과를 얻는다.

$$\rho=\rho_0 e^{-(\sigma / \epsilon)t} \quad (C/m^3)$$

 

이는 시간에 따라 각 위치에서 전하밀도가 감소함을 의미한다. 도체에서는 도체 내부의 모든 점에 있는 전하들이 도체의 표면으로 모여드는데, 이 시간이 굉장히 짧다. 따라서 도체 내부에서의 전하밀도는 0으로 간주하는 것이 일반적이다.