전자기학[13] 정상상태 전류 - 전력소모, 주울의 법칙, 저항 계산

도체 내에 있는 자유전자에게 전기장이 가해진다면, 자유전자들이 실제로 이동하는 드리프트 운동(drift)을 한다고 언급한 적이 있다. 아주 미시적인 관점에서 이 전자들을 관찰한다면, 전자들은 이동하며 원자들과 충돌하며 열을 발생시킨다.

즉, 전자가 전기장으로부터 얻은 에너지가 충돌을 통해 열의 형태로 원자들에게 전달된다는 의미이다.

 

전기장 E가 전하 q를 $\Delta l$만큼 이동시키는데 필요한 일은 $F \cdot \Delta s= qE \cdot \Delta l$이며, 이에 대해 전력(시간당 일) p는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$p=\lim_{\Delta t \rightarrow 0}{\Delta w \over \Delta t}=qE \cdot u$$

 

이 때 체적 $dv$내에 있는 모든 전하들에 대한 전력을 더해 총 전력을 구한다면 다음과 같다.

$$dP=\sum_i p_i=E\cdot (\sum_i N_i q_i u_i) dv$$

 

$\sum_i N_i q_i u_i=J$인 것을 10번째 글에서 구했으므로 위 식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

$$dP=E\cdot J dv\\{dP\over dv}=E\cdot J \quad (W/m^3)$$

 

위에서 구한 식은 단위 미소 부피당 전력, 즉 전력밀도를 구한 것과 같다. 따라서 양변을 부피에 대해 적분하여 전력을 구하면 다음과 같이 구할 수 있다.

$$P=\int_V E\cdot J dv \quad (W)$$

 

단면이 일정한 도체에서는 J와 같은 방향으로 $dl$을 설정하고 그것에 수직한 방향으로 단면적 $ds$를 설정한다면 미소단위체적 $dv=dsdl$을 나눠 생각할 수 있다. 이를 이용하여 위 식을 다시 쓰면,

$$P=\int_L Edl \int_S Jds=VI$$

임을 알 수 있다. $V=IR$이므로 $P=VI=I^2R=V^2/R$ 역시 성립한다.

 

 

저항계산

정전용량에 관한 기본공식을 전속 D와 전기장 세기 E를 이용해 나타내면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$C={Q\over V}={\oint_S D\cdot ds\over -\int_L E\cdot dl}={\oint_S \epsilon E\cdot ds \over -\int_L E\cdot dl}$$

 

비슷한 방법으로 저항을 전류밀도 J와 전기장 세기 E를 이용하여 나타내보면 다음과 같다.

$$R={V\over I}={-\int_L E\cdot dl\over \oint_S J\cdot ds}={-\int_L E\cdot dl \over \oint_S \sigma E\cdot ds}$$

 

정전용량과 저항을 표현한 위의 두 식이 비슷하게 생긴 것을 발견할 수 있을 것이다!

위의 두 식을 비교하면 다음과 같은 관계를 알아낼 수 있다.

$$RC={C\over G}={\epsilon \over \sigma}$$

 

매질이 $\epsilon$과 $\sigma$가 일정한 단순하고 균질한 매질일 때 위의 식을 이용해 저항 또는 정전용량을 간편하게 구할 수 있다!