전자기학[25] 맥스웰 방정식 - 시간에 따라 변하는 전자기장 (2)

이번 글에서는 자기장 내에서 도체나 폐루프가 이동할 때 발생하는 현상에 대해 다뤄볼 것이다.

 

일정한 세기의 자기장 내에서 도체가 이동하는 경우

 

위의 그림과 같이 일정한 자기장 $B$ 내에서 막대모양 도체가 속도 $\mathbf{u}$로 이동할 때를 고려해보자.

먼저 $\odot$ 표시는 지면으로부터 나오는 방향(화면으로부터 당신의 눈을 향하는 방향)이라고 생각하면 된다.

z방향의 자기장이 형성되어 있는 공간에 y방향으로 뻗어있는 도체 막대가 x방향으로 이동하고 있는 상황이다.

 

전하가 자기장 내에서 이동할 때 자기력(로렌츠 힘)을 받는다는 사실을 정자기장의 기본 가정 글에서 다뤘었다.

도체 내에서 이동하는 전하인 전자가 +x방향으로 이동하므로 전류는 -x방향으로 흐를 것이고, 자기장의 방향이 +z을 향하므로 도체 내의 전자가 받는 자기력은 +y방향을 향한다.(전자는 음전하라는 것을 잊지 말자.) 

이로써 도체에서 +y방향 부분인 2번 부분에서 상대적으로 전자의 축적이 이루어질 것이고, 따라서 상대적으로 음전하를 띌 것이다. 

따라서 1번 부분에서 2번 부분으로 향하는 전기장이 형성될 것인데, 전기장에 의한 전기력과 자기장 내에서의 움직임에 의한 자기력의 크기가 같아질 때까지 전자의 축적이 계속될 것이다.

 

전기력과 자기력이 같을 때의 상황을 식으로 표현하면 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$$F_E=F_m\\q\mathbf{E}=q\mathbf{u}\times \mathbf{B}\\\mathbf{E}=\mathbf{u}\times \mathbf{B}$$

 

전위차는 경로를 따라 전기장을 적분하면 구할 수 있고, 위의 결과를 대입하면 다음과 같은 결과가 나온다.

$$V_{21}=\int_1^2 (\mathbf{u}\times \mathbf{B})\cdot dl$$

 

이와 비슷한 방법으로 폐회로 $C$가 자기장 내에서 이동할 때 폐회로에서 생성되는 기전력을 구할 수 있다. 이를 이동 기전력(moving emf(electromotive force)) 또는 자속 절단 기전력(flux-cutting emf) 이라고 한다.

$$V=\oint_C (\mathbf{u}\times\mathbf{B})\cdot dl \quad (V)$$

 

 

시간에 따라 변하는 자기장 내에서 이동하는 폐루프

 

이번에는 폐루프가 이동함과 동시에, 자기장도 시간에 따라 변할 때의 기전력을 구해보자.

전기장 $E$와 자기장 $B$가 동시에 존재하는 공간에 전하가 운동하고 있다면 전기력 $F_E$와 자기력 $F_m$이 동시에 작용한다. 

전하에 가해지는 총 힘은 전기력과 자기력의 총 합으로 나타낼 수 있으며 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{u}\times\mathbf{B})$$

 

외부에서 관찰할 때에는 전하가 전기장 $\mathbf{E}'$에 의해 총 힘 $\mathbf{F}$를 받는다고 생각할 수 있다. 

따라서 외부에서 봤을 때 전하에 가해지는 힘의 총합은 다음과 같으며, 위의 식과 결합한 결과를 수식으로 정리하면 다음과 같다.

$$\mathbf{F}=q\mathbf{E}'=q(\mathbf{E}+\mathbf{u}\times \mathbf{B})\\\mathbf{E}'=\mathbf{E}+\mathbf{u}\times\mathbf{B}$$

 

위의 결과식 양변에 경로 $C$를 따라 선적분을 취하고, ($\oint_C \mathbf{E}\cdot dl=-\int_S {\partial \mathbf{B}\over \partial t}\cdot ds$)이러한 사실을 이용하여 고쳐 쓴다면 아래와 같은 결과가 나온다.

$$\oint_C \mathbf{E}'\cdot dl=-\int_S {\partial \mathbf{B}\over \partial t}\cdot ds + \oint_C (\mathbf{u}\times\mathbf{B})\cdot dl$$

 

위의 조금 복잡해 보이는 식을 패러데이 법칙의 일반형이라고 한다.

조금 더 풀어서 설명하자면, 위 식의 좌변은 폐루프에 유도되는 유도 기전력을 의미하고 우변의 첫 번째 항은 자기장이 시간에 따라 변함으로써 생기는 항이다.

우변의 두 번째 항은 폐루프가 자기장 내에서 이동함으로써 생기는 항이다.