전자기학 [26] 맥스웰 방정식 - 맥스웰 방정식

맥스웰 방정식

 

정전기장 및 정자기장에서 기본 전자기장 가정을 통해 아래의 4가지 식을 구했다. 

$$\nabla \times \mathbf{E}=0 \\ \nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{J} \\ \nabla \cdot \mathbf{D}=\rho \\ \nabla \cdot \mathbf{B}=0$$

 

우리는 이전 2개의 글을 통해 시간에 따라 변하는 자기장은 전기장에 영향을 줄 수 있다는 사실을 공부했고, 이를 토대로 위 식을 고치면 아래의 4가지 식으로 표현할 수 있다.

$$\nabla \times \mathbf{E}=-{\partial \mathbf{B}\over \partial t} \\ \nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{J} \\ \nabla \cdot \mathbf{D}=\rho \\ \nabla \cdot \mathbf{B}=0$$

 

 

그리고 항상 전하 보존의 법칙이 성립하여야 하므로 아래의 식 또한 성립한다. (임의의 표면적을 나가는 전류밀도의 총합은 그 부피 내의 전하 밀도의 감소량과 같음을 의미) (연속방정식 게시물 참고)

$$\nabla \cdot \mathbf{J}=-{\partial \rho \over \partial t}$$

 

위 식에서 전류밀도 $\mathbf{J}$는 기본 가정의 두 번째 식에도 존재하므로 두 식을 합쳐보자.

기본 가정의 두 번째 식의 양 변에 $(\nabla \cdot)$을 취하면 아래와 같다.

$$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{H})=0=\nabla \cdot \mathbf{J}$$

 

임의 벡터의 회전 성분에 대한 발산은 항상 0이라는 벡터의 0 항등식에 의해 위 식의 값은 항상 0이어야 한다. 

그런데 시간에 따라 전하밀도가 변하는, 시간에 따라 변하는 전자기장의 경우는 $\nabla \cdot \mathbf{J}$의 값이 0이 아닐 수 있다. 

이러한 모순적인 관계를 아래처럼 고쳐 쓴다면 해결할 수 있다!

 

먼저 전하 보존의 법칙으로 인해 $\nabla \cdot \mathbf{J}+{\partial \rho \over \partial t}=0$ 이 성립함을 알고 있다. 

따라서 아래처럼 표현 할 수 있다.

$$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{H})=0=\nabla \cdot \mathbf{J}+{\partial \rho \over \partial t}$$

 

이 때 전자기장의 기본 가정 세 번째 식 $\nabla \cdot \mathbf{D}=\rho$을 위 식에 대입하면 아래 식처럼 변형할 수 있다.

$$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{H})=\nabla \cdot \mathbf{J}+{\partial (\nabla \cdot \mathbf{D}) \over \partial t}\\\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{H})=\nabla \cdot (\mathbf{J}+{\partial \mathbf{D} \over \partial t}) \\ \nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{J}+{\partial \mathbf{D} \over \partial t}$$

 

위 식의 결과로써 우리는 전류가 0인 상황에서도 시간에 따라 전기장이 변한다면 자기장이 형성된다는 사실을 알 수 있다. 

전자기장의 관계식을 수정하여 더욱 일반적인 형태를 표현할 수 있게 되었으며, 이는 맥스웰(James Clerk Maxwell)의 업적 중 하나이다.

일부 모순이 있던 전자기장의 기본 가정을 변형하여 일반적이며 합당한 4가지의 전자기장에 관한 관계식을 맥스웰 방정식(Maxwell's Equation)이라고 하며 그 내용은 아래와 같다.

 

$$\nabla \times \mathbf{E}=-{\partial \mathbf{B}\over \partial t} \\ \nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{J}+{\partial \mathbf{D} \over \partial t} \\ \nabla \cdot \mathbf{D}=\rho \\ \nabla \cdot \mathbf{B}=0$$

 

 

맥스웰 방정식의 적분 형태

 

위에서 나타낸 4가지 식은 공간상의 임의 점에 대한 미분 방정식이다. 

각 식 양 변에 선적분 및 면적분을 적용하고, 발산정리나 스토크스의 정리를 이용하면 실제 상황에 적용하기 편한 적분 형태를 얻을 수 있다. 

 

첫 번째 식에는 면적분을 취한 후 좌변에 스토크스의 정리를 적용하고,

두 번째 식도 마찬가지로 면적분을 취한 후 좌변에 스토크스의 정리를 적용한다.

세 번째 식과 네 번째 식에는 부피에 대해 체적 적분을 취한 후 좌변에 발산 정리를 적용한다.

이 방법을 통해 맥스웰 방정식을 다음과 같이 정리할 수 있다.

$$\oint_C \mathbf{E}\cdot dl= - \int_S {\partial \mathbf{B} \over \partial t} \cdot ds \\ \oint_C \mathbf{H}\cdot dl= \int_S (\mathbf{J}+{\partial \mathbf{D} \over \partial t}) \cdot ds \\ \oint_S \mathbf{D}\cdot ds= \int_V \rho dv \\ \oint_S \mathbf{B}\cdot ds= 0$$

 

 

4가지의 맥스웰 방정식을 표로 정리하면 아래와 같다.

 

의미	미분형	적분형
패러데이의 법칙(쇄교 자속의 변화는 전기장을 생성함)	$\nabla \times \mathbf{E}=-{\partial \mathbf{B}\over \partial t}$	$\oint_C \mathbf{E}\cdot dl= - {d \Phi \over dt}$
암페어의 주회법칙(전기장의 변화와 전류는 자기장을 생성함)	$\nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{J}+{\partial \mathbf{D} \over \partial t}$	$\oint_C \mathbf{H}\cdot dl= I+\int_S {\partial \mathbf{D} \over \partial t} \cdot ds$
가우스의 법칙	$\nabla \cdot \mathbf{D}=\rho$	$\oint_S \mathbf{D}\cdot ds= Q $
독립된 자하(magnetic charge)는 존재하지 않음	$\nabla \cdot \mathbf{B}=0$	$\oint_S \mathbf{B}\cdot ds= 0$