전자기학[3] 정전기장-전위

전위(電位, electric potential)는 이름에서 알 수 있듯이 '전기적 위치 에너지'를 의미한다. 전기장에 놓여있는 전하가 갖는 위치에 따른 에너지이다. 중력에 의한 위치에너지가 절대적인 값이 아닌, 두 지점간의 위치 차이에 따른 상대적인 값이다. 따라서 두 지점의 전위의 차이가 물리적인 의미를 지니게 되는데, 이를 굉장히 작은 범위에서 생각한다면 전위의 기울기가 물리적인 의미를 갖는다고 할 수 있겠다.

전위의 기울기는 전기장이라는 새로운 벡터를 정의하면 다음과 같다.

$$\vec E=-\nabla V$$

위의 그림에서 볼 수 있듯이 전기장의 방향과 전위가 증가하는 방향이 서로 반대 방향이기 때문에 $(-)$(음의)부호가 붙는 것이라고 이해하면 쉽다.

위의 식 양변을 적당한 경로에 대해 적분해주면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$V_2-V_1=-\int_{P_1}^{P_2} \vec E \cdot dl$$

여기서 재밌는 점이 있는데, 바로 $\vec E$를 어느 경로를 통해 적분하더라도 시작점과 끝점이 동일하다면 계산 결과가 $V_1-V_2$로 같다는 점이다.

 

전하 분포에 의한 전위

위의 단락에서 두 지점간의 전위의 차이를 전위차(전압)라고 하며, 상대적인 값이라고 설명했다. 특정 위치에서의 전위를 절대적으로 표현하려면 절대적인 기준점이 있어야 한다. 이 기준점을 무한히 멀리 떨어져 있는 특정한 지점으로 설정한다면 어느 점에서나 절대적인 기준점이라고 할 수 있겠다. 무한 원점에서의 전위를 0으로 설정하고 위의 공식에 대입한다면 다음과 같은 결과가 나온다.

$$V=-\int_\infty ^R {q \over 4\pi \epsilon_0 R^2}\cdot dR={q \over 4\pi \epsilon_0 R} (V)$$

이 식을 통해 두 점 사이의 전위차를 쉽게 구할 수 있다. 만약 두 지점 $P_1$과 $P_2$가 점전하 $q$로부터 각각 $R_1$, $R_2$만큼 떨어져 있다면, 두 지점 사이의 전위차는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$V_{21}=V_{P_2}-V_{P_1}={q \over 4\pi \epsilon_0}\left( {1 \over R_2}- {1\over R_1}\right)$$

 

여러개의 점전하에 의한 전위는 각 전하에 의해 발생하는 전위들의 합으로 나타낼 수 있다. $n$개의 점전하 $q_1,q_2,\cdots ,q_n$의 위치 벡터가 각각 $\vec R_1, \vec R_2, \cdots , \vec R_n$이고, 전위를 계산하고자 하는 지점의 위치 벡터가 $\vec R$이라고 할 때, 그 지점에서의 전위를 식으로 표현하면 다음과 같다.

$$V={1 \over 4\pi \epsilon_0} \sum_{k=1}^n {q_k \over \left| \vec R - \vec R_k \right|}$$

 

위의 식을 조금만 응용한다면, 특정 영역에 연속적으로 분포하는 전하에 의한 전위도 계산할 수 있다. 전하를 미소전하로 나눈 후 각 미소 전하에 의한 전위를 계산하고 더하면 된다. 특정 공간에 분포하고 있는 체적전하 분포를 예시로 계산해보면 다음과 같다.

$$V={1 \over 4\pi \epsilon_0} \int_V {\rho \over \vec R}dv$$

면전하나 선전하의 경우도 비슷한 과정을 통해 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$V={1 \over 4\pi \epsilon_0} \int_S {\rho \over \vec R}ds$$
$$V={1 \over 4\pi \epsilon_0} \int_L {\rho \over \vec R}dl$$