전자기학[2] 정전기장-쿨롱 법칙

무한히 큰 자유공간에 정지해있는 점전하 $q$가 존재한다고 생각해보자. 점전하는 크기도, 방향도 없으므로 공간 상에 어떠한 점을 선택하더라도 그 점에서의 전기장$E$의 방향은 $q$로부터 멀어지거나 가까워지는 방향이다. 

앞에서 배운 자유공간에서 정전기장의 기본 가정을 다시 적용해보면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$\oint_S E \cdot ds=E\oint_S ds=E(4\pi R^2)=\frac q {\epsilon_0}$$

$$E=\frac q {4 \pi \epsilon_0 R^2}$$

여기서 $\frac 1 {4\pi \epsilon_0}$은 상수이므로 고등 물리에서는 뭉뚱그려서 $\frac 1 {4\pi \epsilon_0}=k=9\times10^9\left( Nm^2C^{-2} \right)$ 를 사용한다. 쿨롱 상수라고도 한다.

앞의 가우스 법칙 글에서 나왔던 $F=qE$ 공식에 대입하면 쿨롱 법칙의 엄밀한 표현을 얻을 수 있다.

$$F=q_2E=\frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0R^2} (N)$$

 

조금 더 일반적인 경우를 생각해보자. 연속적인 전하 분포, 즉 전하의 부피가 0이 아닐 때를 고려해보자. 전하 밀도(부피 당 전하량)는 $\rho(C/m^3)$라고 설정한다. 이는 물론 위치에 따라 달라지는 값이므로 공간좌표의 함수라고 할 수 있다.

 

공간에 대해 적분 할 때 전하를 아주 작은 미소전하로 쪼갠 후 다시 더하게 되는데, 이때 미소전하는 부피가 0에 수렴하므로 점전하라고 간주할 수 있다. 미소전하의 부피를 $dv'$라고 설정한다면 미소전하의 전하량은 부피에 전하밀도를 곱한 $\rho dv'$가 된다. 이 미소전하에 의한 전기장$dE$의 세기는 위에서 미리 구한 수식으로 계산할 수 있다. 

$$dE=\frac{\rho dv'}{4\pi\epsilon_0R^2}$$

양변을 적분하면 우리가 구하고 싶은 전기장의 세기를 구할 수 있다.(여기서 $\rho$는 상수가 아니라고 가정했으므로 적분 바깥으로 나오면 안 된다. 만일 상수라면 나와도 된다.)

$$E=\frac 1 {4\pi\epsilon_0} \int_{V'} \frac \rho {R^2} dv' (V/m)$$

전기장은 방향을 지닌 벡터 값임을 고려한다면, 더욱 엄밀히 다음과 같이 쓸 수 있겠다. ($\vec{a_R}$: 반지름 방향의 단위 벡터)

$$E=\frac 1 {4\pi\epsilon_0} \int_{V'} \vec{a_R} \frac \rho {R^2} dv' (V/m)$$

복잡해 보일 수 있지만 그냥 전하를 아주 작은 부피의 전하로 쪼개서 각각 계산한 다음, 다시 전부 더하는 것이라고 생각하면 간단하다!