전자기학[1] 정전기장-가우스 법칙

-전자기학 게시물은 Cheng의 전자기학(David K. Cheng) 2nd Edition을 기준으로 작성함을 알려 드립니다.-

-복습 겸 정리하며 전자기학 내용를 개념 위주로 작성할 예정입니다!-

 

쿨롱(Coulomb)의 법칙

$$F_{12}=a_{12}k\frac{q_1q_2}{{R_{12}^2}}$$

두 전하가 서로 충분히 멀리 떨어져 있을 때, 각 전하량의 곱에 비례하고 거리의 제곱에 반비례 하는 힘이 두 전하를 잇는 직선 상에 존재한다. 서로 같은 극성이라면 척력(밀어내는 힘)을, 서로 다른 극성이라면 인력(당기는 힘)이 작용한다.

자유공간 정전기장

정전하가 자유공간의 고정된 점에 존재하고 있다고 가정하고, 이 정전하에 의해 발생되는 전기장을 구해보자. 전기장 세기(Electric field intensity)는 전기장이 존재하는 공간에 아주 작은 시험전하가 존재할 때, 이 전하가 받게 되는 힘의 크기를 단위전하당 비율로 정의한 값이다. 힘을 전하량으로 나눈 것이므로 단위는 물론 (N/C)가 되고, 적절히 변환하면 (V/m)로 나타낼 수 있다. 전기장 세기를 수식으로 표현하면 다음과 같다. $$E=\lim_{q \to 0}\frac{F}{q}$$

시험전하가 전기장에 큰 영향을 주지 않을 정도로 작다면 실제 측정되는 E의 값과 위에서 구한 이론적인 E의 값은 큰 차이가 없을 것이다. 위의 식을 전개하여 전기장에 의해 정전하가 받는 힘을 계산하면 고등물리에서도 볼 수 있는 간단한 식이 나온다.

$$F=qE$$

 

정전기장의 기본 가정 2가지는 다음과 같다. 받아들이면 편하다.

$$\nabla\cdot E=\frac\rho{\epsilon_0}$$

$$\nabla\times E=0$$

 

$\rho$는 자유전하의 부피밀도(단위: $C/m^3$ )이고, $\epsilon_0$은 자유공간에서의 유전율이다. 위의 내적 식 양변을 임의의 공간 $V$에 대해 적분한 후, 발산 정리에 대입하면 다음과 같다.

$$\int_V \nabla\cdot E dv=\frac {1}{\epsilon_0} \int_V \rho dv$$

$\int_V \rho dv=Q$ ($Q$는 면$S$로 둘러싸인 공간 $V$에 들어있는 모든 전하의 합)이므로,

$$\oint_S E\cdot ds=\frac Q{\epsilon_0}$$

이는 가우스 법칙이라고 하며, 자유공간 내의 임의의 닫힌 공간에서 외부로 발산하는 모든 전자기장 세기의 합은 그 닫힌 공간 내부의 모든 전하의 합을 유전상수 $\epsilon_0$로 나눈 것과 같다는 것을 의미한다.

 

외적 식 양변을 임의의 면에 대해서 적분한 후 스토크스 정리를 대입하면 다음과 같은 결과가 나온다.

$$\oint_C E\cdot dl=0$$

여기서 $C$는 위에서 가정한 임의의 면을 둘러싸는 경로이다. 폐회로에서 전압강하를 모두 더했을 때 0이 된다는 키르히호프 전압 법칙(KVL)을 수식으로 쓴 것과 같은 의미라고 이해할 수 있다.

 

위에서 유도한 공식들을 다시 표로 정리하면 다음과 같다.

미분형	적분형
$\nabla\cdot E=\frac\rho{\epsilon_0}$	$\oint_S E\cdot ds=\frac Q{\epsilon_0}$
$\nabla\times E=0$	$\oint_C E\cdot dl=0$

이 두가지 정전기장의 기본 가정은 자연계의 기본 법칙으로 받아들여도 된다.