항공역학 [12] 비압축성 유동 분석 (3) - 더블릿 유동(Doublet Flow), 원형 실린더 주변 유동, d'Alembert's paradox

더블릿 유동(Doublet Flow)

 

이전 글에서 용출(Source flow), 용입(Sink flow), 균일 유동(Uniform flow)이 합쳐졌을 때 나타나는 Rankine oval에 대해 살펴보았다.

이번 글에서는 용출 점과 용입 점이 무한히 가까워져 생기는 특이점인 더블릿 유동(Doublet Flow)에 대해 살펴볼 것이다.

마찬가지로 왼쪽은 용출($+\Lambda$), 오른쪽은 용입($-\Lambda$)이라고 가정하고 왼쪽 그림을 살펴보자. 

용출점과 점$P$가 이루는 각이 $\theta_1$, 용입점과 점$P$가 이루는 각이 $\theta_2$라고 했을 때 점$P$에서의 유선 함수 $\psi$는 다음과 같이 구할 수 있다.

$$\psi={\Lambda\over 2 \pi}(\theta_1-\theta_2)=-{\Lambda\over 2 \pi}\Delta\theta$$

 

이때 더블릿의 강도 $\kappa$를 $\kappa=l\Lambda$로 정의하고, 일정한 강도에서 $l$을 0에 가깝게 근접시켜보자. ($\kappa=l\Lambda=const.$, $l\to 0$)

오른쪽 그림을 잘 살펴보면 다음 식들이 성립함을 알 수 있다.

$$a=l\sin\theta \\ b=r-l\cos\theta \\ d\theta={a\over b}$$

이러한 관계를 이용하여 유선 함수 $\psi$를 계산해보자.

$$\psi=\lim_{l\to 0 \\ \kappa=const.}\left({-{\Lambda\over 2 \pi}d\theta}\right) \\ =\lim_{l\to 0 \\ \kappa=const.}\left({-{\Lambda\over 2 \pi}{l\sin\theta \over r-l\cos\theta}}\right) \\ =\lim_{l\to 0 \\ \kappa=const.}\left({-{\kappa\over 2 \pi}{\sin\theta \over r-l\cos\theta}}\right) \\ ={-{\kappa\over 2 \pi}{\sin\theta \over r}}$$

위와 같이 계산된 더블릿의 유선 함수는 아래 그림과 같이 그려진다.

 

비슷한 방법으로 더블릿의 속도 퍼텐셜을 구할 수 있는데, 그 결과는 다음과 같다.

$$\phi={{\kappa\over 2 \pi}{\cos\theta \over r}}$$

 

 

실린더 주위의 유동

 

이전 글에서 Rankine oval을 살펴볼 때와 같이, 이번에는 더블릿 유동과 균일 유동을 중첩(Superposition)시켜 살펴보겠다.

용입과 용출 사이의 거리가 유한했던 이전 글에서와는 달리, 더블릿 유동의 경우 용입과 용출 사이의 거리가 무한히 작다는 가정을 갖고있다.

잘 생각해보면 타원의 두 초점이 원점으로 합쳐질 것 같다는 예상을 할 수 있고, 이는 곧 유동의 형태가 타원에서 원이 됨을 의미한다.

 

유동이 중첩될 때의 유선 함수는, 단순히 여러 유동의 유선 함수를 더함으로써 얻을 수 있다.

균일 유동의 유선 함수: $\psi=V_\infty r \sin\theta$

더블릿 유동의 유선 함수: $\psi=-{\kappa\over 2\pi}{\sin\theta\over r}$

균일 유동+더블릿 유동의 합성 유선 함수: $\psi=V_\infty r \sin\theta-{\kappa\over 2\pi}{\sin\theta\over r}$

 

합성 유선 함수를 살펴보면, 다음과 같이 정리할 수 있다.

$$\psi=V_\infty r \sin\theta-{\kappa\over 2\pi}{\sin\theta\over r} \\ =V_\infty r \sin\theta\left( 1-{\kappa\over 2\pi V_\infty r^2} \right)$$

이때 $R^2={\kappa\over 2\pi V_\infty}$로 치환하여 다시 써보면,

$$\psi=V_\infty r \sin\theta\left( 1-{R^2\over r^2} \right)$$

 

위에서 구한 유선 함수를 이용하여 $ V_r, V_\theta$를 계산해보자.

$$V_r={1\over r}{\partial\psi\over\partial\theta}={1\over r}V_\infty r \cos\theta\left( 1-{R^2\over r^2} \right)=V_\infty \cos\theta\left( 1-{R^2\over r^2} \right)$$

위 식에서 $V_r$이 0이 되는 지점은 $\cos\theta=0$인 지점 또는 $r=R$인 모든 지점이다.

즉, 반지름이 $R$인 원 위의 모든 지점에 대해 $V_r=0$을 만족한다.

 

$$V_\theta=-{\partial\psi\over\partial r}=- V_\infty \sin\theta\left( 1+{R^2 \over r^2}\right)$$

위 식에서 $V_\theta=0$이 되는 지점은 $\sin\theta=0$이 되는 지점이다.

 

$V_r=0, V_\theta=0$을 만족하는 정체점(Stagnation point)을 찾아보면 두 점이 나오는데, 그 두 점은 다음과 같다.

$$(R,0), (R,\pi)$$

이는 원의 왼쪽 끝과 오른쪽 끝 위치를 말한다.

 

정체점에서의 유선 함숫값을 대입을 통해 찾아보면 0이 됨을 쉽게 알 수 있고, 반지름이 $R$인 원 위에서도 마찬가지로 유선 함숫값이 0이 된다.

따라서 반지름이 $R$인 원 내부를 유체가 통과하지 않는 고체 물체로 생각할 수 있으며, $R$의 크기는 위에서 정의한 것과 같다.

$$R=\sqrt{\kappa\over 2\pi V_\infty}$$

 

 

실린더 주위의 압력 계수

 

비압축성, 비점성 유동에서 압력 계수는 다음 식을 통해 구할 수 있다.

$$C_p={p-p_\infty\over q_\infty}={{1\over 2}\rho (V_\infty^2-V^2)\over {1\over 2}\rho V_\infty^2}=1-\left( {V\over V_\infty} \right)^2$$

실린더 표면에서의 압력 계수를 구하기 위해 실린더 표면에서 유동의 속도를 계산해보자.

$$V_r=0 \\ V_\theta=-2V_\infty \sin\theta$$

위 값을 대입하여 실린더 표면에서의 압력 계수를 계산하면 다음과 같다.

$$C_p=1-4\sin^2\theta$$

 

 

d' Alembert의 역설(d' Alembert's paradox)

 

물체 표면에서의 압력 계수는 $C_p=1-4\sin^2\theta$와 같이 구할 수 있다는 것을 위에서 보였다.

이를 그래프로 나타내면 다음과 같다.

 

위 그래프에서 빨간 선은 $\theta=-\pi,0,\pi$인 점을 나타내고, 파란 선은 $\theta=-\pi/2, \pi/2$인 점을 나타낸다.

양력 계수를 계산하기 위해서는 압력 계수를 아랫면에 대해 적분한 값에서 압력 계수를 윗면에 대해 적분한 값을 빼야 한다.

그런데 위 그래프를 살펴보면 아랫면을 의미하는 $\theta=-\pi\sim~ 0$에서 압력 계수 분포와 윗면을 의미하는 $\theta=0 \sim\pi$에서의 압력 계수 분포가 같은 것을 알 수 있다. 

윗면과 아랫면에서 압력 계수 분포가 같다는 것은 윗면과 아랫면에 대해 작용하는 수직 방향 힘의 크기가 같고 방향이 반대라는 것을 의미하고, 이는 물체에 작용하는 양력이 0 임을 의미한다.

 

항력 계수를 구하기 위해 압력 계수를 앞면에 대해 적분한 값에서 압력 계수를 뒷면에 대해 적분한 값을 빼야 한다.

위 그래프에서 물체의 앞면을 의미하는 구간은 $\theta=-\pi /2 \sim \pi /2$이고, 뒷면을 의미하는 구간은 $\theta=\pi /2 \sim 3\pi /2$이다.

위 그래프에서 파란 선들의 사이를 살펴보면, 앞면에서 압력 계수 분포와 뒷면에서 압력 계수 분포가 같다는 것을 알 수 있고, 이는 앞면에 작용하는 수평 방향 힘과 뒷면에 작용하는 수평 방향 힘의 크기가 같고 방향이 반대라는 것을 의미한다.

이는 곧 물체에 작용하는 항력이 0임을 뜻한다.

 

실린더의 위아래로 유선이 대칭이기 때문에, 실린더에 작용하는 양력이 0이라는 것은 상식적으로 받아들일 수 있다.

그런데, 유체 내의 물체가 항력을 경험하지 않는다는 사실은 상식적으로 받아들이기 어렵다. 

실험적으로 언제나 측정 가능한, 유한한 항력이 존재한다는 것은 너무나 당연한 사실이기 때문이다.

이러한 역설을 d'Alembert의 역설(d'Alembert's paradox)이라고 한다.

 

이러한 역설은 유동이 비점성이라는 가정이 있었기 때문에 발생한 것이다.

간단히 설명하면, 유체의 점성에 의해 물체에 전단 응력이 발생하고, 유동이 물체 표면에서 박리(seperation)되며 난류(turbulent)가 발생하여 대칭이 깨져 항력이 발생한다.

하지만 이 글에서는 비점성 유동에 대해 공부하고 있었으므로, 항력이 없다는 사실을 받아들여야 한다.