항공역학 [7] 지배 방정식 - 실체적 도함수(Substantial Derivative)

실체적 도함수(Substantial Derivative)

지금까지 사용한 미분 개념은 공간에 대해 고정된 점을 기준으로 미분을 하는 것이었다.

 

그런데 우리가 관심 있어하는 유체의 경우 시간에 따라 유체 요소들이 흐르게(움직이게)되고, 일반적인 방법으로는 시간에 따라 움직이는 유체 요소에 대한 미분이 불가능하다.

일반적인 미분 방법은 공간에 대해 고정된 점을 기준으로 하므로 유체 요소가 움직이는 것을 고려하지 않기 때문이다. 

 

따라서 유체 요소를 따라가며, 그 유체 요소에 대한 미분을 취하는 것이 실체적 도함수(Substantial Derivative)를 사용하는 이유이다. 

 

그림으로 표현하자면, 일반적인 미분 방법은 고정된 공간(노란색 큐브)에 대해 미분을 하는 것이고, 실체적 도함수는 움직이는 유체 요소를 따라가며, 즉 노란색 큐브에서 파란색 큐브로 가는 동안 그 유체 요소를 따라가며 시간에 따른 변화를 살펴보는 것이다.

모든 공간에 대해 유체의 속도는 직교 좌표계에서 각 좌표축 방향으로 나누어 생각해볼 수 있다. 이를 식으로 표현하면 $\mathbf{V}=u\mathbf{i}+v\mathbf{j}+w\mathbf{k}$로 나타낼 수 있는데, 각 속도 성분이 위치와 시간에 따라 변하는 함수이다. 유체의 밀도 또한 위치와 시간에 따라 변하는 함수이므로 아래와 같이 쓸 수 있다.

$$u=u(x,y,z,t)\\v=v(x,y,z,t)\\w=w(x,y,z,t)\\\rho=\rho(x,y,z,t)$$

 

위 그림에서 노란 점에서의 밀도를 $\rho_1$, 파란 점에서의 밀도를 $\rho_2$라고 하면 다음과 같이 쓸 수 있고,

$$\rho_1=\rho(x_1,y_1,z_1,t_1)\\\rho_2=\rho(x_2,y_2,z_2,t_2)$$

테일러급수(Taylor series)를 활용하여 $\rho_2$를 $\rho_1$로 나타낼 수 있다.

$$\rho_2=\rho_1+\left({\partial \rho \over \partial x}\right)_1(x_2-x_1)+\left({\partial \rho \over \partial y}\right)_1(y_2-y_1)\\+\left({\partial \rho \over \partial z}\right)_1(z_2-z_1)+\left({\partial \rho \over \partial t}\right)_1(t_2-t_1)+H.O.T.$$

 

노란 점과 파란 점이 매우 가깝다고 가정하면 2차 이상의 고차항(High Order Term)을 무시할 수 있고, 각 항을 $t_2-t_1$으로 나눈다면 아래 식을 얻을 수 있다.

$${\rho_2-\rho_1 \over t_2-t_1}=\left({\partial \rho \over \partial x}\right)_1{x_2-x_1\over t_2-t_1}+\left({\partial \rho \over \partial y}\right)_1{y_2-y_1\over t_2-t_1}+\left({\partial \rho \over \partial z}\right)_1{z_2-z_1\over t_2-t_1}+\left({\partial \rho \over \partial x}\right)_1$$

 

위 식의 좌변을 살펴보면, 유체 요소가 노란 점에서 파란 점으로 이동할 때 밀도의 평균 변화율을 의미하는 것을 알 수 있다. 

이는 위에서 소개한 실체적 도함수의 정의와 일치한다.

만약 $t_2$를 $t_1$에 가깝게 만들면 아래의 식처럼 표현할 수 있고, 이는 노란 점에서의 실체적 도함수이다.

$$\lim_{t_2 \to t_1}{\rho_2-\rho_1 \over t_2 - t_1}={D\rho \over Dt}$$

 

여기서 나오는 $D/Dt$ 기호를 실체적 도함수(Substantial derivative)라고 한다. 

 

 

노란 점에서의 속도 벡터를 $\mathbf{V}_1$이라 하고, 속도 벡터의 직교 좌표계 성분을 각각 $u, v, w$라 하자.

$$\mathbf{V}_1=u\mathbf{i}+v\mathbf{j}+w\mathbf{k}$$

 

그렇다면 속도의 정의에 의해 다음 세 가지 식이 성립한다.

$$\lim_{t_2 \to t_1}{x_2-x_1 \over t_2 - t_1}=u\\\lim_{t_2 \to t_1}{y_2-y_1 \over t_2 - t_1}=v\\\lim_{t_2 \to t_1}{z_2-z_1 \over t_2 - t_1}=k$$

 

따라서 위에서 살펴본 식들에 의해, 아래의 식이 성립함을 알 수 있다.

$${\rho_2-\rho_1 \over t_2-t_1}=\left({\partial \rho \over \partial x}\right)_1{x_2-x_1\over t_2-t_1}+\left({\partial \rho \over \partial y}\right)_1{y_2-y_1\over t_2-t_1}+\left({\partial \rho \over \partial z}\right)_1{z_2-z_1\over t_2-t_1}+\left({\partial \rho \over \partial x}\right)_1$$

양변에 limit를 취하면,

$$\lim_{t_2 \to t_1}{\rho_2-\rho_1 \over t_2-t_1}=\lim_{t_2 \to t_1}\left( \left({\partial \rho \over \partial x}\right)_1{x_2-x_1\over t_2-t_1}+\left({\partial \rho \over \partial y}\right)_1{y_2-y_1\over t_2-t_1}+\left({\partial \rho \over \partial z}\right)_1{z_2-z_1\over t_2-t_1}+\left({\partial \rho \over \partial x}\right)_1\right)$$

$${D\rho \over Dt}=u{\partial \rho \over \partial x}+v{\partial \rho \over \partial y}+w{\partial \rho \over \partial z}+{\partial \rho \over \partial t}$$

$${D \over Dt}=u{\partial \over \partial x}+v{\partial \over \partial y}+w{\partial \over \partial z}+{\partial \over \partial t}$$

 

벡터 연산자 $\nabla$(nabla)는 ($\nabla=\mathbf{i}{\partial\over\partial x}+\mathbf{j}{\partial\over\partial y}+\mathbf{k}{\partial\over\partial z}$)로 정의되므로, 위 식은 다음과 같이 표현된다.

$${D \over Dt}=\mathbf{V}\cdot\nabla+{\partial\over\partial t}$$

 

 

실체적 도함수로 지배 방정식 표현하기

 

이번에는 위에서 정의했던 실체적 도함수를 이용해 앞서 공부했던 연속 방정식, 운동량 방정식, 에너지 방정식 등의 지배 방정식을 표현해볼 것이다.

 

먼저, 벡터 관계식 중 다음 관계식을 사용할 것이라 먼저 소개하겠다.

$$\nabla\cdot (\rho\mathbf{V})=\rho\nabla\cdot\mathbf{V}+\mathbf{V}\cdot\nabla\rho$$

 

공부한 지배 방정식 중 연속 방정식(${\partial\rho\over\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf{V})=0$)을 위의 벡터 관계식을 이용해 변형해보자.

$${\partial\rho\over\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf{V})=0\\{\partial\rho\over\partial t}+\rho\nabla\cdot\mathbf{V}+\mathbf{V}\cdot\nabla\rho$$

실체적 도함수의 정의에 의해 아래의 식이 성립하며, 이는 연속 방정식의 또 다른 형태이다.

$${D\rho\over Dt}+\rho\nabla\cdot\mathbf{V}=0$$

 

이번에는 x축 방향 운동량 방정식$\left({\partial (\rho u)\over\partial t}+\nabla \cdot (\rho u \mathbf{V})=-{\partial p \over \partial x}+\rho f_x+F_{x,viscous}\right)$에 대해 생각해보자.

 

첫 항 $\left({\partial (\rho u)\over\partial t}\right)$을 풀어쓰면 $\left(\rho{\partial u\over\partial t}+u{\partial \rho \over\partial t}\right)$와 같고,

벡터 관계식에 의해 다음 식이 성립하므로, 

$$\nabla\cdot (\rho u \mathbf{V})=u\nabla\cdot (\rho \mathbf{V})+(\rho\mathbf{V})\cdot \nabla u)$$

아래의 과정들을 이끌어낼 수 있다.

$$\rho{\partial u\over\partial t}+u{\partial \rho \over\partial t}+u\nabla\cdot (\rho \mathbf{V})+(\rho\mathbf{V})\cdot \nabla u)=-{\partial p \over \partial x}+\rho f_x+F_{x,viscous} \\ \rho{\partial u\over\partial t}+u\left[{\partial \rho \over\partial t}+\nabla\cdot (\rho \mathbf{V})\right]+(\rho\mathbf{V})\cdot \nabla u)=-{\partial p \over \partial x}+\rho f_x+F_{x,viscous} \\ \rho{\partial u\over\partial t}+(\rho\mathbf{V})\cdot \nabla u)=-{\partial p \over \partial x}+\rho f_x+F_{x,viscous} \\ \rho\left({\partial u\over\partial t}+\mathbf{V}\cdot \nabla u\right)=-{\partial p \over \partial x}+\rho f_x+F_{x,viscous}\\ \rho \left({Du \over Dt} \right)=-{\partial p \over \partial x}+\rho f_x+F_{x,viscous}$$

 

y축 방향과 z축 방향 운동량 방정식의 경우도 같은 방법으로 구할 수 있다.

 

에너지 방정식 또한 유사한 방법을 통해 실체적 도함수를 이용하여 표현할 수 있다. 그 결과는 아래 식과 같다.

$$\rho {D(e+V^2/2) \over Dt}=\rho\dot q -\nabla\cdot (p\mathbf{V})+\rho (\mathbf{f}\cdot\mathbf{V})+\dot Q_{viscous}+\dot W_{viscous}$$