항공역학 [8] 지배 방정식 - 유동의 유선, 유선 함수, 속도 퍼텐셜(Streamline, Stream Function, Velocity Potential)

유선(Streamline)의 정의

유동의 흐름에 대해 알기 위해서는 우선 유동의 흐름을 정의하고 표현할 수 있어야 한다.

어떤 임의의 공간에서 유체가 흐를 때, 각 위치에서 유체가 속도를 갖고 있으므로 각 위치에서 속도 벡터가 존재한다. 

공간 상에 어떠한 선을 그렸을 때, 선 위의 모든 점에서 선의 방향(접선 방향)과 속도 벡터의 방향이 같다면 그 선이 곧 유선이다. 

즉, 유선상에서는 유선의 접선과 유동의 속도 벡터는 항상 평행하다.

아래 그림에서 에어포일 주변에서의 유선을 표현해보았다.

유동의 경로선(Pathline)의 경우 유선과 정의가 약간 다르다.

유체가 흐를 때 어떤 유체 입자를 살펴보면, 그 입자는 유체의 흐름에 따라 움직이게 될 것이다.

이때 그 유체 입자 요소가 진행하는 경로를 선으로 따라 그린 것이 경로선의 정의이다.

다시 말해, 유선은 공간의 속도장(velocity field)과 관련 있고, 경로선은 유체 입자가 실제로 진행하는 경로를 의미한다.

참고적으로, 정상 유동(Steady flow)의 경우 경로선과 유선은 일치한다.

 

유선의 정의에 의해, 임의의 위치에서 유선과 유동의 속도는 평행하다.

유선의 경로를 $s$라고 할 때, 유선상의 어떤 지점에서 유선의 벡터는 $\mathbf{dS}$라고 할 수 있다. 

유선과 유동의 속도$\mathbf{V}$가 평행하므로, 외적(cross product)을 취하면 아래의 식이 성립한다.

$$\mathbf{dS}\times\mathbf{V}=0$$

 

직교 좌표계에서 $\mathbf{dS}, \mathbf{V}$를 표현하면 아래와 같으므로,

$$\mathbf{dS}=dx\mathbf{i}+dy\mathbf{j}+dz\mathbf{k}\\\mathbf{V}=u\mathbf{i}+v\mathbf{j}+w\mathbf{k}$$

아래의 식이 성립한다.

$$\mathbf{dS}\times\mathbf{V}=\mathbf{i}(wdy-vdz)+\mathbf{j}(udz-wdx)+\mathbf{k}(vdx-udy)=0$$

따라서 벡터의 각 성분이 0이 되므로 직교 좌표계에서 아래의 식이 성립한다.

$$wdy-vdz=0\\udz-wdx=0\\vdx-udy=0$$

 

유선 함수(Stream Function)

이제 위에서 정의한 유선을 함수의 형태로 표현해 볼 것이다.

유선 함수는 대게 2차원 유동에 대해서만 사용할 수 있다. 따라서 아래의 식이 성립한다.

$$vdx-udy=0\\{dy\over dx}={v\over u}$$

모든 좌표에 대해 $u, v$를 알고 있다면 위 식을 적분하여 유선에 대한 방정식을 구할 수 있다.

$$f(x,y)=c$$

여기서 c는 적분을 통해 나온 상수이며, 위 함수를 $\bar\psi$기호를 사용해 표시해보자.

$$\bar\psi (x,y)=c$$

 

각 유선마다 임의의 상수값 $c$를 갖고 있으며, 유선마다 모두 다른 상수값을 갖고 있다.

임의로 상수값을 정할 수 있으므로, 상수값을 정할 때 물리적 의미가 있도록 정한다면 적분 상수로 인한 임의성이 배제되어 더욱 정확하게 유선 함수를 정의할 수 있을 것이다.

따라서 a-b를 지나는 유선 함수값 $\bar\psi$와 c-d를 지나는 유선 함수값 $\bar\psi+\Delta\bar\psi$의 차이인 $\Delta\bar\psi$를 두 유선 사이를 지나가는 단위 시간당 유체의 질량이라고 정의할 것이다.

 

a-b, c-d 두 유선 사이가 굉장히 작아 $\mathbf{V}$와 수직한 $\Delta n$에 따라 $\mathbf{V}$이 변하지 않는다고 가정하자.

그렇다면 $\Delta\bar\psi$의 정의에 의해 아래의 식이 성립한다. (2차원 유동임을 생각하자.)

$$\Delta\bar\psi=\rho V \Delta n$$

그런데, 위 그림을 잘 살펴보면 직교 좌표계에서 $\mathbf{V}$는 수평방향 $u$와 수직방향 $v$로 나누어 생각할 수 있고, $\Delta n$의 경우 수평방향 $-\Delta x$과 수직방향 $\Delta y$로 나누어 생각할 수 있다. 

이때 $\Delta n$을 통과하는 질량 유동 중 수평방향 질량 유동은 $u\Delta y$임을 알 수 있고, 수직방향 질량 유동은 $-v\Delta x$임을 알 수 있다.

이를 통해 질량 유동에 대한 식을 다시 쓰면,

$$\Delta\bar\psi=\rho V \Delta n=\rho u\Delta y-\rho v\Delta x$$

두 유선이 아주 가깝다고 가정하면,

$$d\bar\psi=\rho u d y-\rho v d x$$

그런데 유선 함수 $\bar\psi$는 $x,y$에 대한 함수이므로 chain rule에 의해 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$d\bar\psi={\partial \bar\psi \over \partial x}dx+{\partial \bar\psi \over \partial y}dy=\rho u d y-\rho v d x$$

따라서 아래의 식이 성립한다.

$$\rho u={\partial \bar\psi \over \partial y}\\\rho v=-{\partial \bar\psi \over \partial x}$$

위 식은 모든 2차원 유동에 대해 성립하는 식이다.

유체의 밀도가 일정한 비압축성 유동에 대해서는 새로운 유선 함수 $\psi=\bar \psi / \rho$를 정의함으로써 단순화할 수 있다.

$$\rho u={\partial \bar\psi \over \partial y}\\u={\partial (\bar\psi/\rho) \over \partial y}\\u={\partial\psi \over \partial y}$$

비슷한 방법으로 유도하면,

$$v=-{\partial\psi \over \partial x}$$

 

위에서 구한 유선 함수를 원통 좌표계(Cylinderical Coordinate)에 대해 정리하면 아래와 같다.

$$V_r={1\over r}{\partial\psi \over \partial \theta}\\V_\theta=-{\partial\psi \over \partial r}$$

 

 

속도 퍼텐셜(Velocity Potential)

유동 내의 모든 점에서 와도(Vorticity)가 0인 유동을 비회전성 유동이라고 한다. 

유동의 어떤 유체 요소도 회전하지 않고, 병진 운동만을 하는 상태라고 생각하면 쉽다.

비회전성 유동에 대해 다음 식이 성립한다.

$$\nabla\times\mathbf{V}=0$$

 

그런데 임의의 스칼라 $\phi$에 대해 다음 벡터 관계식이 항상 성립한다는 것이 알려져 있다.

$$\nabla \times (\nabla \phi)=0$$

 

따라서 두 식을 비교해보면, $\nabla\times\mathbf{V}=0$을 만족하는 비회전성 유동에 대해 $\mathbf{V}$는 어떤 스칼라 함수 $\phi$의 구배(gradient)로 나타낼 수 있음을 보여준다. 즉,

$$\mathbf{V}=\nabla\phi$$

 

위 식을 만족하는 스칼라 함수 $\phi$를 속도 퍼텐셜(Velocity potential)이라고 하며, 속도 퍼텐셜은 공간 좌표에 대한 함수이다.

 

 

 

속도 벡터와 속도 퍼텐셜 간의 관계를 추가적으로 설명하기 위해 오른쪽 사진을 첨부했다. (가시화를 위해 공간 좌표에 대한 함수가 아닌, 평면 좌표에 대한 함수로 표현했다.)

속도 퍼텐셜은 임의의 평면 좌표에 따라 특정한 값(value)만을 갖는 함수이다.

이때 속도 벡터는 속도 퍼텐셜에 대해 gradient를 취한 값이므로, 오른쪽 그래프에서는 기울어진 방향과, 기울어진 정도의 값을 갖는 벡터가 되는 것이다.

 

 

 

 

속도 퍼텐셜의 정의로부터 다음 식이 성립하는 것을 알 수 있다.

$$\nabla\phi={\partial\phi\over\partial x}\mathbf{i}+{\partial\phi\over\partial y}\mathbf{j}+{\partial\phi\over\partial z}\mathbf{k}=u\mathbf{i}+v\mathbf{j}+w\mathbf{k} \\ u={\partial\phi\over\partial x}\\v={\partial\phi\over\partial y}\\w={\partial\phi\over\partial z}$$

 

원통형 좌표계(Cylinderical Coordinate)에서는 다음과 같이 표현되며,

$$V_r={\partial\phi\over\partial r}\\V_\theta={1\over r}{\partial\phi\over\partial\theta}\\V_z={\partial\phi\over\partial z}$$

 

구면형 좌표계(Spherical Coordinate)에서는 다음과 같이 표현된다.

$$V_r={\partial\phi\over\partial r}\\V_\theta={1\over r}{\partial\phi\over\partial\theta}\\V_\Phi={1\over r \sin\theta}{\partial\phi\over\partial \Phi}$$

 

비회전성 유동에 대해서는 위와 같이 유동을 속도 퍼텐셜로 나타낼 수 있으므로 퍼텐셜 유동(Potential flow)라고 부르기도 한다.